2021/9/20随笔（数论与组合计数的结合，欧拉函数推导)

Posted 2021-09-21 _comet

前置知识：

容斥原理（可参考https://www.cnblogs.com/komet/p/15156521.html），

互质概念，

基础数学。

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欧拉函数 φ(n) 定义为对正整数n，小于n的正整数中与n互质的数的数目。

通项公式为：

 公式1

先不考虑欧拉函数具体是什么，我们先考虑它的定义——小于n的正整数中与n互质的数的数目。给你一个这样的问题你该如何解决?

最朴素的想法肯定是，一一判断，枚举1到n，每次枚举就判断目前枚举的数字i和n是否互质，即gcd是否为1，但这样就太慢了，算法的复杂度为O(nlogn)，或者先预处理出n的质因子，判断时用是否整除判断，复杂度或许会更好些，但都还是太慢了。

看过我博客的人就会发现，这问题明显是区间互质问题的一个子问题，用容斥原理就可以在能O(logn)内解决，准确的说应该是O(k^2)的复杂度，k为n的质因子个数。

公式如下： 公式2

 

（n为N质因子的数量，p1~pn为质因子，该公式的证明由上面给出的我上篇随笔得出，读者也可以自己独立思考该公式。）

简单的说，该公式就是N乘质因子的所有组合的倒数的偶数和与负数的奇数和。

如n为3时该公式为，n*(1-（1/p1+1/p2+1/p3）+(1/p1p2+1/p1p3+1/p2p3)-(1/p1p2p3))　　（p 为质因子）

这时回头看看欧拉函数，是不是很相似。

由于上面那个公式化简起来比较麻烦，我们先来考虑一个简单的化简

有式子1+ a+b+c+ab+ac+ad+abc

提取公因式a

有 a(1+b+c+bc)+1+b+c+bc

提取公因式1+b+c+bc

有(1+a)(1+b+c+bc)

提取公因式b

有 (1+b)(1+c+b(1+c))

提取公因式1+c

有 (1+a)(1+b)(1+c)=1+ a+b+c+ab+ac+ad+abc

若a=-1/p1 , b=-1/p2 , c=-1/p3

则有，(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)=1-（1/p1+1/p2+1/p3）+(1/p1p2+1/p1p3+1/p2p3)-(1/p1p2p3)

推广：

同N(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)...(1-1/pn)

即