《数学分析》笔记：实数集和函数 2

Posted 2021-09-12 Tenderfoot

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了《数学分析》笔记：实数集和函数 2相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

§ 2 数集 · 确界原理

一区间与邻域

区间

设 \$a,b\\in\\mathbf{R}\$，且 \$a<b.\$ 我们称数集 \$\\left \\{x\\ |\\ a<x<b\\right \\}\$ 为开区间，记作 \$(\\ a\\ ,\\ b\\ )\$；数集 \$\\left \\{x\\ |\\ a\\leqslant x\\leqslant b\\right \\}\$ 为闭区间，记作 \$[\\ a\\ ,\\ b\\ ]\$；数集 \$\\left \\{x\\ |\\ a\\leqslant x<b\\right \\}\$ 和 \$\\left \\{x\\ |\\ a< x\\leqslant b\\right \\}\$ 都称为半开半闭区间，分别记作 \$[\\ a\\ , \\ b\\ )\$ 和 \$(\\ a\\ ,\\ b\\ ]\$. 以上这几类区间统称为有限区间.
满足关系式 \$x\\geqslant a\$ 的全体实数 \$x\$ 的集合记作 \$[\\ a\\ ,\\ +\\infty \\ )\$，这里符号 $\\infty $ 读作“无穷大”，\$+\\infty\$ 读作“正无穷大” . 类似地，我们记

\\[(\\ -\\infty\\ ,\\ a]=\\{x\\ |\\ x\\leqslant a\\},(\\ a\\ ,\\ +\\infty\\ )=\\{x\\ |\\ x>a\\} \\]

\\[(\\ -\\infty\\ ,\\ a)=\\{x\\ |\\ x< a\\},(\\ -\\infty \\ ,\\ +\\infty\\ )=\\{x\\ |\\ -\\infty < x<+\\infty\\}=\\mathbf{R} \\]

其中 \$-\\infty\$ 读作“负无穷大”. 以上这几类数集都称为无限区间. 有限区间和无限区间统称为区间.

邻域

设 \$a\\in\\mathbf{R},\\delta>0\$. 满足绝对值不等式 \$|x-a|<\\delta\$ 的全体实数 \$x\$ 的集合称为点 \$a\$ 的 \$\\delta\$ 邻域，记作 \$U(a;\\delta)\$，或简单地写作 \$U(a)\$，即有

\\[U(a;\\delta)=\\{x\\ |\\ |x-a|<\\delta\\}=(\\ a-\\delta\\ ,\\ a+\\delta\\ ). \\]

点 \$a\$ 的空心 \$\\delta\$ 邻域定义为

\\[U^{\\circ }(a;\\delta)=\\{x\\ |\\ 0<|x-a|<\\delta\\}, \\]

几种常用邻域

点 \$a\$ 的 \$\\delta\$ 右邻域 \$U_+(a;\\delta)=[\\ a\\ ,\\ a+\\delta\\ )\$，简记为 \$U_+(a)\$
点 \$a\$ 的 \$\\delta\$ 左邻域 \$U_-(a;\\delta)=(\\ a-\\delta\\ ,\\ a\\ ]\$，简记为 \$U_-(a)\$
\$U_-(a)\$ 和 \$U_+(a)\$ 去除点 \$a\$ 后，分别为点 \$a\$ 的空心 \$\\delta\$ 左、右邻域，简记为 \$U^\\circ _ -(a)\$ 与 \$U^\\circ _ +(a)\$
\$\\infty\$ 邻域 \$U(\\infty)=\\{x\\ |\\ |x|>M\\}\$，其中 \$M\$ 为充分大的正数（下同）
\$+\\infty\$ 邻域 \$U(+\\infty)=\\{x\\ |\\ x>M\\}\$
\$-\\infty\$ 邻域 \$U(-\\infty)=\\{x\\ |\\ x<-M\\}\$

二有界集·确界原理

定义

定义1 设 \$S\$ 为 \$\\mathbf{R}\$ 中的一个数集 . 若存在数 \$M(L)\$，使得对一切 \$x\\in S\$，都有 \$x\\leqslant M(x\\geqslant L)\$，则称 \$S\$ 为有上界（下界）的数集，数 \$M(L)\$ 称为 \$S\$ 的一个上界（下界） . 若数集 \$S\$ 既有上界又有下界，则称 \$S\$ 为有界集 . 若 \$S\$ 不是有界集，则称 \$S\$ 为无界集 .

定义2 设 \$S\$ 为 \$\\mathbf{R}\$ 中的一个数集 . 若数 \$\\eta\$ 满足：

对一切 \$x\\in S\$，有 \$x\\leqslant \\eta\$，即 \$\\eta\$ 是 \$S\$ 的上界
对任何 \$\\alpha<\\eta\$，存在 \$x_0\\in S\$，使得 \$x_0>\\alpha\$，即 \$\\eta\$ 又是 \$S\$ 的最小上界
则称数 \$\\eta\$ 为数集 \$S\$ 的上确界，记作

\\[\\eta=\\sup S. \\]

定义3 设 \$S\$ 是 \$\\mathbf{R}\$ 中的一个数集 . 若数 \$\\xi\$ 满足：

对一切 \$x\\in S\$，有 \$x\\geqslant \\xi\$，即 \$\\xi\$ 是 \$S\$ 的下界
对任何 \$\\beta >\\xi\$，存在 \$x_0\\in S\$，使得 \$x_0<\\beta\$，即 \$\\xi\$ 又是 \$S\$ 的最大下界

则称数 \$\\xi\$ 为数集 \$S\$ 的下确界，记作

\\[\\xi=\\inf S. \\]

上确界与下确界统称为确界

重要定理

※定理1（确界原理）设 \$S\$ 为非空数集 . 若 \$S\$ 有上界，则 \$S\$ 必有上确界；若 \$S\$ 有下界，则 \$S\$ 必有下确界 .

※证我们只证明上确界的结论，后一结论可以类似地证明 .

不妨设 \$S\$ 含有非负数 . 由于 \$S\$ 有上界，故可找到非负整数 \$n\$，使得

对于任何 \$x\\in S\$，有 \$x<n+1\$
存在 \$a_0\\in S\$，使 \$a_0\\geqslant n\$.

对半开区间 \$[\\ n\\ ,\\ n+1\\ )\$ 作 \$10\$ 等分，分点为 \$n.1,n.2,\\cdots,n.9\$，则存在 \$0,1,2,\\cdots,9\$ 中的一个数 \$n_1\$，使得

对于任何 \$x\\in S\$，有 \$x<n.n_1+\\dfrac 1{10}\$
存在 \$a_1\\in S\$，使 \$a_1\\geqslant n.n_1\$.

再对半开区间 \$[\\ n.n_1\\ ,\\ n.n_1+\\dfrac {1}{10}\\ )\$ 作 \$10\$ 等分，则存在 \$0,1,2,\\cdots ,9\$ 中的一个数 \$n_2\$，使得

对于任何 \$x\\in S\$，有 \$x<n.n_1n_2+\\dfrac 1{10^2}\$
存在 \$a_2\\in S\$，使 \$a_2\\geqslant n.n_1n_2\$.

连续不断地 \$10\$ 等分在前一步骤中所得到的半开区间，可知对任何 \$k=1,2, \\cdots\$，存在 \$0,1,2,\\cdots ,9\$ 中的一个数 \$n_k\$，使得

对于任何 \$x\\in S\$，有 \$x<n.n_1n_2\\cdots n_k+\\dfrac 1{10^k}\$
存在 \$a_2\\in S\$，使 \$a_2\\geqslant n.n_1n_2\\cdots n_k\$.

将上述步骤无限进行下去，得到实数 \$\\eta=n.n_1n_2\\cdots n_k\\cdots\$. 以下证明 \$\\eta=\\sup S\$. 为此只需证明：

对一切 \$x\\in S\$，有 \$x\\leqslant \\eta\$
对任何 \$\\alpha<\\eta\$，存在 \$a\'\\in S\$，使 \$\\alpha<a\'\$

倘若结论 \$1\$ 不成立，即存在 \$x\\in S\$，使 \$x>\\eta\$，则可找到 \$x\$ 的 \$k\$ 位不足近似 \$x_k\$，使

\\[x_k>\\overline{\\eta}_k=n.n_1n_2\\cdots n_k+\\dfrac 1{10^k} \\]

从而得

\\[x>n.n_1n_2\\cdots n_k+\\dfrac 1{10^k} \\]

但这与上面结论相矛盾，于是 \$1\$ 得证

现设 \$\\alpha<\\eta\$，则存在 \$k\$，使 \$\\eta\$ 的 \$k\$ 位不足近似 \$n_k>\\overline{\\alpha}_k\$，即

\\[n.n_1n_2\\cdots n_k>\\overline{\\alpha}_k. \\]

根据数 \$\\eta\$ 的构造，存在 \$a\'\\in S\$，使 \$a\'\\geqslant \\eta_k\$，从而有

\\[a\'\\geqslant\\eta_k>\\overline{\\alpha}_k\\geqslant\\alpha. \\]

得到 \$\\alpha<a\'\$，说明 \$2\$ 成立

该定理是极限理论的基础

若把 \$+\\infty\$ 和 \$-\\infty\$ 补充到实数集中，并规定任一实数 \$a\$ 与 \$+\\infty,-\\infty\$ 的大小关系为：\$a<+\\infty\\ ,a>-\\infty\\ ,-\\infty<+\\infty\$，则确界概念可扩充为：若数集 \$S\$ 无上限，则定义 \$+\\infty\$ 为 \$S\$ 的非正常上确界，记作 \$\\sup S=+\\infty\$；若 \$S\$ 无下限，则定义 \$-\\infty\$ 为 \$S\$ 的非正常下确界，记作 \$\\inf S=-\\infty\$. 相应地根据前面定义 \$2\$ 和定义 \$3\$ 中所定义的确界分别成为正常上、下确界.