Cut the Sequence

Posted 2021-08-19 louis_11

题目link：http://poj.org/problem?id=3017

Part1：

首先拿到这道题，先得出普通的 dp。

设 f_i 表示将前 i 个数按最优方案分为几个合法的区间的最大值之和。

那么容易得出 dp 方程：

f_i = min{ f_j + Max(j + 1, i) } (0 ≤ j ≤ i - 1 && Sum(j + 1, i) ≤ m);

其中 Max(x, y) 表示 max{ a_i } (x ≤ i ≤ y)，Sum(x, y) 表示 Σ a_i (x ≤ i ≤ y)。

Part2：

这时容易发现这个题很难直接用单调队列进行优化，那么考虑通过决策单调性来考虑这个问题。

那么就来考虑用哪个 j 来转移最优。

但是显然这个并不是太好考虑，那先来考虑用 j 来转移比用 j - 1 来转移更优的条件是什么。

容易得出只有两种情况：

Sum(j, i) > m && Sum(j + 1, i) ≤ m；

f_j + Max(j + 1, i) < f_{j - 1} + Max(j, i)；

那么满足这两种情况之一就变成了 j 是最优转移的必要条件。

但是好像这个题不能像普通的单调队列优化 dp 的题一样来找到队首这样一个唯一的最优解，那么现在只能去考虑一下找到一些 j，使得最优的转移包含在这些 j 里面就行了（dp 虽然需要不漏，但是不需要不重）。

那么现在就考虑如何去找到上面的两种情况的 j 并依次进行转移就行了。

Part2.1：

这里第一种情况比较容易考虑。

容易得到对于每一个 i 来说，这样的 j 只可能会存在一个（因为它是一个分界点）。

然后就可以二分去找这样的 j，具体实现可以使用 STL 中的 lower_bound 函数（找到第一个大于或等于 Sum(1, i) - m 的 Sum(1, j)，j 就是答案）。

Part2.2：

这里可能会较为困难一些，那么先看一看 f_j 和 f_{j - 1} 的关系。

它们的关系其实是 f_j ≥ f_{j - 1}，这里给出证明：

考虑使用前 j 个数的最优分区间方案的分界点去分前 j 个数，这里容易证明这样是一个分前 j - 1 个数的合法的方案，但不一定是最优的方案，并且也容易证明这样分的所有区间最大值之和是小于或等于前 j 个数的最优方案的所有区间最大值之和的（因为只会有最后一个区间的数比前 j 个数的方案的最后一个区间的数少一个，但是最后一个区间的最大值不可能比前 j 个数的大）。所以既然如这般如此，仅仅是一个合法的方案就比前 j 个数的最优方案要好（或相等），那 f_j 一定大于或等于 f_{j - 1}，证毕。

既然 f_j ≥ f_{j - 1}，还想要 f_j + Max(j + 1, i) < f_{j - 1} + Max(j, i)，那么必须就得 Max(j + 1, i) < Max(j, i)，化简一下就是 a_j = Max(i, j)。

那么现在就是考虑把上面这个化简过的式子里的 j 给都找到并进行转移了，于是考虑接着进行转化