第十一届蓝桥杯（国赛）——质数行者

Posted 2021-07-24 业余算法学徒

问题描述
小蓝在玩一个叫质数行者的游戏，游戏在一个 $n\times m\times w$ 的立体方格图上进行，

从北到南依次标号为第 $1$ 行到第 $n$ 行，从西到东依次标号为第 $1$ 列到第 $m$ 列，从下到上依次标号为第 $1$ 层到第 $w$ 层。

小蓝要控制自己的角色从第 $1$ 行第 $1$ 列第 $1$ 层移动到第 $n$ 行第 $m$ 列第 $w$ 层。

每一步，他可以向东走质数格、向南走质数格或者向上走质数格，每走到一个位置，小蓝的角色要稍作停留。

在游戏中有两个陷阱，分别为第 $r1$ 行第 $c1$ 列第 $h1$ 层和第 $r2$ 行第 $c2$ 列第 $h2$ 层，这两个陷阱可以跨过，但不能停留。

也就是说，小蓝不能控制角色某一步正好走到陷阱上，但是某一步中间跨过了陷阱是允许的。

小蓝最近比较清闲，因此他想用不同的走法来完成这个游戏。所谓两个走法不同，是指小蓝稍作停留的位置集合不同。

请帮小蓝计算一下，他总共有多少种不同的走法。

提示：请注意内存限制，如果你的程序运行时超过内存限制将不得分。

输入格式
输入第一行包含两个整数 $n,m,w$，表示方格图的大小。
第二行包含 $6$ 个整数，$r1,c1,h1,r2,c2,h2$，表示陷阱的位置。

输出格式
输出一行，包含一个整数，表示走法的数量。答案可能非常大，请输出答案除以 $1000000007$ 的余数。

样例输入
5 6 1
3 4 1 1 2 1

样例输出
11

样例说明
用 $(r,c,h)$ 表示第 $r$ 行第 $c$ 列第 $h$ 层，可能的走法有以下几种：

1. $(1,1,1)-(1,3,1)-(1,6,1)-(3,6,1)-(5,6,1)$
2. $(1,1,1)-(1,3,1)-(3,3,1)-(3,6,1)-(5,6,1)$
3. $(1,1,1)-(1,3,1)-(3,3,1)-(5,3,1)-(5,6,1)$
4. $(1,1,1)-(3,1,1)-(3,3,1)-(3,6,1)-(5,6,1)$
5. $(1,1,1)-(3,1,1)-(3,3,1)-(5,3,1)-(5,6,1)$
6. $(1,1,1)-(3,1,1)-(5,1,1)-(5,3,1)-(5,6,1)$
7. $(1,1,1)-(3,1,1)-(5,1,1)-(5,4,1)-(5,6,1)$
8. $(1,1,1)-(1,4,1)-(1,6,1)-(3,6,1)-(5,6,1)$
9. $(1,1,1)-(1,6,1)-(3,6,1)-(5,6,1)$
10. $(1,1,1)-(3,1,1)-(3,6,1)-(5,6,1)$
11. $(1,1,1)-(3,1,1)-(5,1,1)-(5,6,1)$

数据范围
对于 30% 的评测用例， $1\le n,m,w\le 50。$
对于 60% 的评测用例， $1\le n,m,w\le 300。$
对于所有评测用例，$1\le n,m,w\le 1000，1\le r1,r2\le n,1\le c1,c2\le m,1\le h1,h2\le w$，陷阱不在起点或终点，两个陷阱不同。

---

题解
记忆化搜索：可得 30% 的分数

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 310, MOD = 1e9 + 7;

int n, m, w;
int k, r1, c1, h1, r2, c2, h2;
int prime[N], g[N][N][N], f[N][N][N];

int dfs(int x, int y, int z)
{
	if(x == n && y == m && z == w) return 1;
	if(x == r1 && y == c1 && z == h1) return 0;
	if(x == r2 && y == c2 && z == h2) return 0;
	if(x < 1 || x > n || y < 1 || y > m || z < 1 || z > w) return 0;
	
	if(f[x][y][z] != -1) return f[x][y][z];
	
	int &v = f[x][y][z] = 0;
	for (int i = 0; i < k; i ++)
	{
		int step = prime[i];
		v = (v + dfs(x + step, y, z)) % MOD;
		v = (v + dfs(x, y + step, z)) % MOD;
		v = (v + dfs(x, y以上是关于第十一届蓝桥杯（国赛）——质数行者的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
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