洛谷 P1077摆花 01背包dp

Posted 2021-07-18 行码棋

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小明的花店新开张，为了吸引顾客，他想在花店的门口摆上一排花，共m盆。通过调查顾客的喜好，小明列出了顾客最喜欢的n种花，从1到n标号。为了在门口展出更多种花，规定第i种花不能超过ai盆，摆花时同一种花放在一起，且不同种类的花需按标号的从小到大的顺序依次摆列。
试编程计算，一共有多少种不同的摆花方案。

输入格式:
第一行包含两个正整数n和m，中间用一个空格隔开。
第二行有n个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，依次表示a1、a2、……an。

输出格式:
输出只有一行，一个整数，表示有多少种方案。注意：因为方案数可能很多，请输出方案数对1000007取模的结果。
输入输出样例说明
有2种摆花的方案，分别是(1，1，1，2)， (1，1，2，2)。括号里的1和2表示两种花，比如第一个方案是前三个位置摆第一种花，第四个位置摆第二种花。
数据规模和约定
对于20%数据，有 0<n≤8，0<m≤8，0≤ai≤8；
对于50%数据，有0<n≤20，0<m≤20，0≤ai≤20；
对于100%数据，有0<n≤100，0<m≤100，0≤ ai≤100。

建议看洛谷的第一个题解：

题解

• 二维背包：
  • 状态表示：
    $dp[i][j]$表示选择前i种花放置j盆花的总方案数
  • 转移方程：
    $dp[i][j]=dp[i][j]+dp[i-1][j-k]$ ,k表示的是第i种花选择的盆数，需要对k进行枚举，k的范围0~min(a[i],j)，因为第i种花最多选a[i]盆，但是当能放置的盆数小于a[i]时，就最多只能放置j盆了

#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
const int mod = 1e6+7;
int n,m;
int dp[105][105],a[105];

int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	dp[0][0] = 1;//注意初始化
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=0;j<=m;j++)
		{
			for(int k=0;k<=min(a[i],j);k++)
				dp[i][j] = (dp[i][j]+dp[i-1][j-k])%mod;
		}
	}
	cout<<dp[n][m]<<'\\n';
	return 0;
 } 

• 一维背包
  k为什么从1开始？

因为这里是一维的动态规划，$dp[j]$此时已经代表了选择前i-1个物品时容量为j的情况（相当于二维背包的$dp[i-1][j]$），如果再让k从0开始，就会多加一个$dp[j]$,造成错误

#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
const int mod = 1e6+7;
int n,m;
int dp[105],a[105];

int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	dp[0] = 1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=m;j>=0;j--)
		{
			for(int k=1;k<=min(a[i],j);k++)
			{//这里的k是从1开始的
				dp[j] = (dp[j]+dp[j-k])%mod;
			}
		}
	}
	cout<<dp[m]<<'\\n';
	return 0;
 }