TSP问题基于蚁群算法求解旅行商问题(TSP)matlab源码
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文章目录
一,理论基础
生物学家研究发现,蚂蚁在寻找食物时,会在其经过的路径上释放一种信息素,并能够感知其他蚂蚁释放的信息素。信息素浓度的大小表示路径的远近,浓度越高,表明对应的路径距离越短。通常,蚂蚁会以较大的概率优先选择信息素浓度较高的路径,并释放一定量的信息素,这样就形成一个正反馈。最终,蚂蚁能够找到一条从巢穴到食物源的最佳路径,即最短距离。同时,生物学家还发现,路径上的信息素浓度会随着时间的推移而逐渐衰减。
将蚁群算法(ant colony algorithm,ACA)应用于解决优化问题的基本思路为:用蚂蚁的行走路径表示待优化问题的可行解,整个蚂蚁群体的所有路径构成待优化问题的解空间。路径较短的蚂蚁释放的信息素量较多,随着时间的推移,较短的路径上累积的信息素浓度逐渐增高,选择该路径的蚂蚁数量也越来越多。最终,整个蚂蚁会在正反馈的作用下集中到最佳的路径上,此时对应的便是待优化问题的最优解。
二,蚁群算法解决TSP问题的基本步骤
图1 蚁群算法解决TSP问题的步骤
1.初始化参数
在计算之初,需要对相关的参数进行初始化,如蚁群规模(蚂蚁数量)m、信息素重要程度因子α、启发函数重要程度因子β、信息素挥发因子ρ、信息素释放总量Q、最大迭代次数i t e r m a x iter_{max}itermax、迭代次数初值i t e r = 1 iter=1iter=1。
2.构建解空间
将各个蚂蚁随机地置于不同的出发地,对每个蚂蚁k ( k = 1 , 2 , ⋯ , m ) k(k=1,2,\\dotsm,m)k(k=1,2,⋯,m),按照转移概率公式计算其下一个待访问的城市,直到所有蚂蚁访问完所有的城市。
3.更新信息素
计算各个蚂蚁经过的路径长度L k ( k = 1 , 2 , . . . , m ) L_k(k=1,2,...,m)Lk(k=1,2,...,m),记录当前迭代次数中的最优解(最短路径)。同时,根据信息素更新公式和ant cycle system模型对各个城市连接路径上的信息素浓度进行更新。
4.判断是否终止
若i t e r < i t e r m a x iter
三,MATLAB程序实现
%% I. 清空环境变量
clear all
clc
%% II. 导入数据
load citys_data.mat
%% III. 计算城市间相互距离
n = size(citys, 1); % 城市的个数
D = zeros(n, n);
for i = 1:n
for j = 1:n
if i ~= j
D(i, j) = sqrt(sum((citys(i, :)-citys(j, :)).^2));
else
D(i, j) = 1e-4;
end
end
end
%% IV. 初始化参数
m = 50; % 蚂蚁数量
alpha = 1; % 信息素重要程度因子
beta = 5; % 启发函数重要程度因子
rho = 0.1; % 信息素挥发因子
Q = 1; % 常系数
Eta = 1./D; % 启发函数
Tau = ones(n, n); % 信息素矩阵
Table = zeros(m, n); % 路径记录表
iter = 1; % 迭代次数初值
iter_max = 200; % 最大迭代次数
Route_best = zeros(iter_max, n); % 各代最佳路径
Length_best = zeros(iter_max, 1); % 各代最佳路径长度
Length_ave = zeros(iter_max, 1); % 各代路径的平均长度
%% V. 迭代寻找最佳路径
while iter <= iter_max
iter
% 随机产生各个蚂蚁的起点城市
start = zeros(m, 1);
for i = 1:m
temp = randperm(n); % 1~n的随机排列
start(i) = temp(1);
end
Table(:, 1) = start;
citys_index = 1:n; % 城市索引
% 逐个蚂蚁路径选择
for i = 1:m
% 逐个城市路径选择
for j = 2:n
tabu = Table(i, 1:(j-1)); % 已访问的城市集合(禁忌表)
allow_index = ~ismember(citys_index, tabu);
allow = citys_index(allow_index); % 待访问的城市集合
P = allow;
% 计算城市间转移概率
for k = 1:length(allow)
P(k) = Tau(tabu(end), allow(k))^alpha * Eta(tabu(end), allow(k))^beta;
end
P = P / sum(P);
% 轮盘赌法选择下一个访问城市
Pc = cumsum(P);
target_index = find(Pc>=rand);
target = allow(target_index(1));
Table(i, j) = target;
end
end
% 计算各个蚂蚁的路径距离
Length = zeros(m, 1);
for i = 1:m
Route = Table(i, :);
for j = 1: (n-1)
Length(i) = Length(i) + D(Route(j), Route(j+1));
end
Length(i) = Length(i) + D(Route(n), Route(1));
end
% 计算最短路径距离及平均距离
if iter == 1
[min_Length, min_index] = min(Length);
Length_best(iter) = min_Length;
Length_ave(iter) =mean(Length);
Route_best(iter, :) = Table(min_index, :);
else
[min_Length, min_index] = min(Length);
Length_best(iter) = min(Length_best(iter-1), min_Length);
Length_ave(iter) = mean(Length);
if Length_best(iter) == min_Length
Route_best(iter, :) = Table(min_index, :);
else
Route_best(iter, :) = Route_best((iter-1), :);
end
end
% 更新信息素
Delta_Tau = zeros(n, n);
% 逐个蚂蚁计算
for i = 1:m
% 逐个城市计算
for j = 1:(n-1)
Delta_Tau(Table(i, j), Table(i, j+1)) = Delta_Tau(Table(i, j), Table(i, j+1)) + Q/Length(i);
end
Delta_Tau(Table(i, n), Table(i, 1)) = Delta_Tau(Table(i, n), Table(i, 1)) + Q/Length(i);
end
Tau = (1-rho) * Tau + Delta_Tau;
% 迭代次数加1, 清空路径记录表
iter = iter + 1;
Table = zeros(m, n);
end
%% VI. 结果显示
[Shortest_Length, index] = min(Length_best);
Shortest_Route = Route_best(index, :);
disp(['最短距离', num2str(Shortest_Length)]);
disp(['最短路径', num2str([Shortest_Route Shortest_Route(1)])]);
%% VII. 绘图
figure(1);
plot([citys(Shortest_Route,1);citys(Shortest_Route(1),1)],...
[citys(Shortest_Route,2);citys(Shortest_Route(1),2)],'o-');
grid on;
for i = 1:size(citys,1)
text(citys(i,1),citys(i,2),[' ' num2str(i)]);
end
text(citys(Shortest_Route(1),1),citys(Shortest_Route(1),2),' 起点');
text(citys(Shortest_Route(end),1),citys(Shortest_Route(end),2),' 终点');
xlabel('城市位置横坐标')
ylabel('城市位置纵坐标')
title(['蚁群算法优化路径(最短距离:' num2str(Shortest_Length) ')'])
figure(2)
plot(1:iter_max,Length_best,'b',1:iter_max,Length_ave,'r:')
legend('最短距离','平均距离')
xlabel('迭代次数')
ylabel('距离')
title('各代最短距离与平均距离对比')
四,结果显示
Command window中的运行结果:
最短距离15601.9195
最短路径30 27 28 26 22 21 20 25 24 19 17 18 3 10 9 8 4 2 7 6 5 16 23 11 13 12 14 15 1 29 31 30
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五,参考文献
[1] DORIGO M, GAMBARDELLA L M. Ant Colonies for the Traveling Salesman Problem[J]. Biosystes, 1997,43(2):73-81
[2] 郁磊等. MATLAB智能算法30个案例分析(第2版)[M].北京航空航天大学出版社.2015年.
以上是关于TSP问题基于蚁群算法求解旅行商问题(TSP)matlab源码的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章
TSP基于matlab蚁群算法求解旅行商问题含Matlab源码 1583期