左神讲算法——异或的高级操作（两数交换+经典面试题）

Posted 2021-06-27 Baret-H

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目录

• 1. 异或的性质
• 2. 两数交换
• 3. 经典面试例题

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1. 异或的性质

异或可以看成相同为1，不同为0；也可以看作无进位相加，有奇数个1则结果为1，有偶数个1则结果为0

1. 异或满足交换律和结合律：a^b=b^a (a^b)^c=a^(b^c)
2. 任何数与0异或不变：a^0=a
3. 任何数异或自己为零：a^a=0

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2. 两数交换

当我们交换两个数时，可以通过异或的方式进行操作：

//交换两个数
a = a ^ b;	//a=a^b b=b
b = a ^ b;	//b=a^b^b=a^0=a a=a^b
a = a ^ b;	//a=a^a^b=0^b=b

该方式的原理就是通过异或的性质实现的：

• 第一步中：a=a^b，b=b

• 第二步中：b=a^b^b=a^0=a，a=a^b

• 第三步中：a=a^a^b=0^b=b，b=a

由此可见，a和b达到了交换的目的。但请注意：用这种方式的前提是a和b指向不同的内存地址，否则异或会清零，比如我们在数组中使用时，注意i和j不能相同

//交换arr[i]和arr[j]
public static void swap(int[] arr, int i, int j) {
    arr[i] = arr[i] ^ arr[j];
    arr[j] = arr[i] ^ arr[j];
    arr[i] = arr[i] ^ arr[j];
}

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3. 经典面试例题

例题：在一个数组中，出现了以下两种情况，如何快速求解（规定时间复杂度为O(N)，空间复杂度为O(1)）

1. 一个数组中，只有一种数出现了奇数次，其余数出现了偶数次，怎么找到该数？
2. 一个数组中，有两种数出现了奇数次，其余数出现了偶数次，怎么找到这两个数？

1️⃣ 对于第一问，只需要声明一个变量eor初始化为0，然后遍历数组与变量依次异或，最后得到的数即为所求数。为什么？因为异或满足交换律和结合律，遍历数组依次异或相当于与组中所有的数进行了异或，然后可调整顺序，将相同的数调整到一起异或为0，又因为相同的数为偶数个，所以除奇数次以外的数完全抵消了，最后相当于0与奇数次的数异或得到奇数次的数

public static void printOddTimesNum1(int[] arr) {
    int a = 0;
    for (int cur : arr)
        a = a ^ cur;
    System.out.println(a);
}

2️⃣ 对于第二问，我们可以声明两个变量来解决，第一个变量eor1同第一问，遍历数组依次异或，根据交换律结合律。出现偶数次的数两两抵消，最后只会留下出现奇数次的数进行异或，假设这两个数为a和b，所以得到eor=a^b；第二个变量我们声明为eor2，由于a和b是不同的，所以a与b异或的结果eor!=0，因此eor中必有一位为1，显然该位为1是因为a、b中该位的值不同，我们假设该位为第i位，然后我们可以根据第i位是否为1将整个数组分为两部分，这样我们就将ab分开了，如下图所示：

然后我们用eor2只遍历数组中第i位为1的数进行异或，即上图中的左半部分，这样就会得到eor2=a（或者只遍历数组中第i位为0的数进行异或，这样会得到eor2=b）

经过上述的异或计算，我们得到了a异或b的值和其中一个值，然后将eor1和eor2进行异或就能得到另一个值：

eor1 = a ^ b
eor2 = a	//或 eor2 = b
eor1 ^ eor2 = a^(a^b) = b

这样我们就求出了两个出现奇数次的数，代码如下所示：

public static void printOddTimes2Num2(int[] arr) {
    int eor1 = 0;
    int eor2 = 0;
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
        eor1 ^= arr[i]; //得到eor1=a^b
    }
    int rightOne = eor1 & (~eor1 + 1);//提取出eor1最右边的1
    for (int cur : arr) {
        if ((cur & rightOne) == 1)
            eor2 ^= cur; //得到eor2=a或b
    }
    System.out.println("两数分别为:" + eor2 + "," + (eor1 ^ eor2));
}

其中rightOne = eor1 & (~eor1 + 1)是提取出a^b中最右边的那个一，这是常规操作，大家记住即可，如下案例所示帮助理解：

eor1		1 0 1 0 1 1 1 1 0 0
~eor1		0 1 0 1 0 0 0 1 1 1
~eor+1		0 1 0 1 0 0 0 1 0 0
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rightOne	0 0 0 0 0 0 0 1 0 0