Python描述数据结构之最短路径篇

Posted 2021-06-27 夏小悠

文章目录

• • 前言
  • 1. 创建图
  • 2. 问题来源
  • 3. Dijkstra算法
  • 4. Floyd算法
  • 5. 代码测试

前言

  本篇章主要介绍图的最短路径问题，包括Dijkstra算法和Floyd算法，并用Python代码实现。

1. 创建图

  在开始之前，我们先创建一个图，使用邻接矩阵表示有向网：

class Graph(object):
    """
    以邻接矩阵为存储结构创建有向网
    """
    def __init__(self, kind):
        # 图的类型: 无向图, 有向图, 无向网, 有向网
        # kind: Undigraph, Digraph, Undinetwork, Dinetwork,
        self.kind = kind
        # 顶点表
        self.vertexs = []
        # 边表, 即邻接矩阵, 是个二维的
        self.arcs = []
        # 当前顶点数
        self.vexnum = 0
        # 当前边(弧)数
        self.arcnum = 0

    def CreateGraph(self, vertex_list, edge_list):
        """
        创建图
        :param vertex_list: 顶点列表
        :param edge_list: 边列表
        :return:
        """
        self.vexnum = len(vertex_list)
        self.arcnum = len(edge_list)
        for vertex in vertex_list:
            vertex = Vertex(vertex)
            # 顶点列表
            self.vertexs.append(vertex)
            # 邻接矩阵, 初始化为无穷
            self.arcs.append([float('inf')] * self.vexnum)
        for edge in edge_list:
            ivertex = self.LocateVertex(edge[0])
            jvertex = self.LocateVertex(edge[1])
            weight = edge[2]
            self.InsertArc(ivertex, jvertex, weight)

    def LocateVertex(self, vertex):
        """
        定位顶点在邻接表中的位置
        :param vertex:
        :return:
        """
        index = 0
        while index < self.vexnum:
            if self.vertexs[index].data == vertex:
                return index
            else:
                index += 1

    def InsertArc(self, ivertex, jvertex, weight):
        """
        创建邻接矩阵
        :param ivertex:
        :param jvertex:
        :param weight:
        :return:
        """
        if self.kind == 'Dinetwork':
            self.arcs[ivertex][jvertex] = weight

  有关邻接矩阵中顶点结点Vertex()的定义可以参考这篇博客，这里就不在贴出相应的代码了。

2. 问题来源

  假如我从城市$A$出发坐火车去其他城市旅游，那么如何规划路线使所花费的车票钱最少呢？若将上述图中的城市看成有向网中的顶点，并将两城市之间所需要的车票钱看做对应弧的权值，那么这一问题的本质就是求两个顶点之间权值最小的路径，简称最短路径$(Shortest$ $Path)$。

3. Dijkstra算法

  $Dijkstra$算法，中文名叫迪杰斯特拉算法，它常用于求解源点到其余顶点的最短路径。
  假设 G = { V , { A } } G=\\{V, \\{A\\}\\} G={V,{A}}是含有$n$个顶点的有向网，以该图中的顶点$v$为源点，使用$Dijkstra$算法求顶点$v$到图中其余各顶点的最短路径的基本思路如下：
  (1) 使用集合$S$记录已求得最短路径的终点，初始时 S = { v } S=\\{v\\} S={v}；
  (2) 选择一条长度最短的路径，该路径的终点$w\in V-S$，将$w$并入$S$，并将该最短路径的长度记为$D_w$；
  (3) 对于$V-S$中任一顶点$s$，将源点到顶点$s$的最短路径长度记为$D_s$，并将顶点$w$到顶点$s$的弧的权值记为$D_{ws}$，若$D_w+D_{ws}<D_s$，则将源点到顶点$s$的最短路径的长度修改为$D_w+D_{ws}$；
  (4) 重复执行上述操作，直到$S=V$。
  $Dijkstra$算法有些$Prim$算法的影子，这里使用一个辅助列表Dist，用来存储源点到每一个终点的最短路径长度，列表Path来存储每一条最短路径中倒数第二个顶点的下标(弧尾下标)，除此之外还需要一个列表flag来记录顶点是否已求得最短路径。下面结合着$Dijkstra$算法来分析一下上面的那个有向网：

  (1) 这里要做的就是更新列表Dist和列表Path，假如以顶点$A$为起始点，先将它加入$S$中，然后寻找以顶点$A$为弧尾的最短路径，这里找到了顶点$B$，然后继续找下一个顶点。这个时候就要做一个判断了，即$D_w+D_{ws}<D_s$是否成立，这里的顶点$s$有两种选择，要么是顶点$C$，要么是顶点$D$，因为这两个顶点都是以顶点$w$(即顶点$B$)为弧尾，按照顺序，这个时候先选择了顶点$C$，经判断：$D_{AB}+D_{BC}<D_{AC}$(即$4+3=7<8$)成立，然后更新源点到顶点$s$(即顶点$C$)的距离为7。这个时候顶点$s$又选择了顶点$D$，经判断：$D_{AB}+D_{BD}<D_{AD}$(即$4+8=12<\infty$)成立，然后更新源点到顶点$s$(即顶点$D$)的距离为12。
  (2) 然后寻找以顶点$C$为弧尾的最短路径，这里找到了顶点$E$，然后做一个路径长度判断，经判断：$D_{AC}+D_{CE}<D_{AE}$(即$7+1=8<\infty$)成立，然后更新源点到顶点$s$(即顶点$E$)的距离为8，然后又找到了顶点$F$，然后做一个路径长度判断，经判断：$D_{AC}+D_{CF}<D_{AF}$(即 7 + 6 = 13 <

以上是关于Python描述数据结构之最短路径篇的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

数据结构之最短路径 [迪杰斯特拉算法]

图论之最短路径floyd算法

最短路径之最短路径问题

贪心算法之最短路径(Dijkstra算法)

中考数学压轴题系列之最短路径问题

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