Python小白的数学建模课-07 选址问题

Posted 2021-06-25 youcans

选址问题是要选择设施位置使目标达到最优，是数模竞赛中的常见题型。

小白不一定要掌握所有的选址问题，但要能判断是哪一类问题，用哪个模型。

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1. 选址问题

选址问题是指在某个区域内选择设施的位置使所需的目标达到最优。选址问题也是一种互斥的计划问题。

例如投资场所的选址：企业要在 m 个候选位置选择若干个建厂，已知建厂费用、运输费及 n 个地区的产品需求量，应如何进行选址。

选址问题是运筹学中经典的问题之一，选址问题在生产生活、物流、甚至军事中都有着非常广泛的应用，如工厂、仓库、急救中心、消防站、垃圾处理中心、物流中心、导弹仓库的选址等。更重要的，选址问题也是数模竞赛的热点问题。

选址是重要的长期决策，选址的好坏直接影响到服务方式、服务质量、服务效率、服务成本等，从而影响到利润和市场竞争力，选址问题的研究有着重大的经济、社会和军事意义。

选址问题有四个基本要素：设施、区域、距离和优化目标。

1.1 设施

选址问题中所说的设施，在具体题目中可以是工厂、仓库、服务站等形式。

1.2 区域

选址问题中所说的区域，在具体题目中可以是工厂、车间的内部布局，也可以是给定的某个地区、甚至空间范围。

按照规划区域的特征，可以分为连续选址问题和离散选址问题。连续选址问题，设施可以布局在区域内的任意位置，就要求出最优选址的坐标；离散选址问题，只能从若干候选位置中进行选择，运筹学中的选址问题通常是这类离散选址问题。

1.3 距离

选址问题中所说的距离，是指设施到服务对象之间的距离，在具体题目中也可以是某个选址位置的服务时间、成本、覆盖范围。如果用图论方法求解，通常就是连接顶点的边的权值。

当问题所关注的是设施到服务对象之间的距离时，如果问题给出的不是顶点之间的距离，而是设施的位置坐标，要注意不是只有欧式距离，对于不同问题也可能是球面距离、曼哈顿距离、切比雪夫距离。

1.4 优化目标

选址问题要求选择最好的选址位置，但选址位置只是决策变量，选择的最终目的通常是实现加权距离最短、费用最小、利润最大、时间最短，这才是优化问题的目标函数。

按照目标函数的特点，可以分为：中位问题，要求总成本最小；中心问题，服务于每个客户的最大成本最小；反中心问题：服务于每个客户的最小成本最大。

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2. 常见选址问题及建模

2.1 P-中位问题（P-median problem）

P-中位问题，假设有 N 个候选服务站和 M 个需求点，要从 N 个候选服务站中选择 P 个，使所有需求点到最近的服务站的加权距离 $d_{ij}$ 的总和最小。需求点 i 的权值，通常是指该需求点的需求量。

这是一个 MinSum 问题，定义决策变量 $x_j$ 为选中的服务站，$y_{ij}$ 将各需求点匹配到最近的服务站：
$$x_j=\{\begin{array}{ll}1，& 服务站j被选中\\ 0，& 服务站j未被选中\end{array}$$
$$y_{ij}=\{\begin{array}{ll}1，& 需求点i由服务站j服务\\ 0，& 需求点i不由服务站j服务\end{array}$$
可以建立数学模型如下：

m i n    ∑ i ∈ M ∑ j ∈ N w i d i j y i j s . t . :    { ∑ j ∈ N x j = P ∑ j ∈ N y i j = 1 ， ∀ i y i j − x j ≤ 0 ， ∀ i , j x j ∈ { 0 , 1 } ,    y i j ∈ { 0 , 1 } min\\;\\sum_{i \\in M}\\sum_{j \\in N} w_i d_{ij}y_{ij}\\\\ s.t.:\\;\\begin{cases} \\sum_{j \\in N} x_{j} = P\\\\ \\sum_{j \\in N} y_{ij} = 1，\\forall i\\\\ y_{ij} - x_j \\leq 0，\\forall i,j\\\\ x_{j} \\in \\{0,1\\}, \\;y_{ij} \\in \\{0,1\\} \\end{cases} mini∈M∑​j∈N∑​wi​dij​yij​s.t.:⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​∑j∈N​xj​=P∑j∈N​yij​=1，∀iyij​−xj​≤0，∀i,jxj​∈{0,1},yij​∈{0,1}​

其中：j 为服务站，i 为需求点，$w_i$ 为需求点 i 的需求量， $d_{ij}$ 为需求点 i 到服务站 j 的距离。

2.2 P-中心问题

P-中心问题，假设有 N 个候选服务站和 M 个需求点，要从 N个候选服务站中选择 P个，使任一需求点到最近的服务站的最大距离最小。

这是一个 MinMax 问题，需要最小化任何需求点与其邻近设施点的最大距离。P-中位问题追求总和最小，可以理解为发展经济总量优先；P-中心问题关注最差个体的最好结果，可以理解为优先进行扶贫。

定义决策变量 $x_j$ 为选中的服务站，$y_{ij}$ 将各需求点匹配到最近的服务站：
$$x_j=\{\begin{array}{ll}1，& 服务站j被选中\\ 0，& 服务站j未被选中\end{array}$$

$$y_{ij}=\{\begin{array}{ll}1，& 需求点i由服务站j服务\\ 0，& 需求点i不由服务站j服务\end{array}$$

可以建立数学模型如下：

m i n    D s . t . :    { ∑ j ∈ N w i d i j y i j ≤ D , ∀ i ∑ j ∈ N x j = P ∑ j ∈ N y i j = 1 , ∀ i y i j − x j ≤ 0 , ∀ i , j x j ∈ { 0 , 1 } ,    y i j ∈ { 0 , 1 } min\\; D\\\\ s.t.:\\;\\begin{cases} \\sum_{j \\in N} w_i d_{ij} y_{ij} \\leq D, \\forall i\\\\ \\sum_{j \\in N} x_{j} = P\\\\ \\sum_{j \\in N} y_{ij} = 1, \\forall i\\\\ y_{ij} - x_j \\leq 0, \\forall i,j\\\\ x_{j} \\in \\{0,1\\}, \\;y_{ij} \\in \\{0,1\\} \\end{cases} minDs.t.:⎩⎪⎪⎪⎪⎪以上是关于Python小白的数学建模课-07 选址问题的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

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