运筹学笔记 图与网络分析

Posted 2021-06-23 Lora青蛙

文章目录

• • 图的基本概念与基本定理
  • 树和最小生成树
  • 最短路问题
  • 网络系统最大流问题
  • 网络系统最小费用最大流问题
  • 中国邮递员问题

图的基本概念与基本定理

一 . 图的基本概念
1 . 无向图与有向图

2 . 关联与邻接
3. 顶点的度数，图的最大度及最小度


4. 简单图

5 . 完全图

6. 子图、生成子图、补图


7 . 同构图

8 . 图的通路（或链）、回路（或圈）


9 . 连通图

二 . 图的基本定理
定理1：（ 握手定理）度数与边数的关系
推论1： 任意图中度数为奇数的顶点个数必为偶数。

树和最小生成树

一 . 树及其性质
1 . 定义： 连通而不含回路（圈）的无向图称为无向树，简称树。
树是连通图中边数最少的图，少一条边，就会不连通，而加一条边就出回路，树正处于临界的状态；
树是图论中最重要的概念之一，又是图论中结构最简单，用途最广泛的一种连通图。例如，同一祖先繁衍的后代按父系血缘关系画出的家谱图就是一棵家族树。

二 . 生成树
1 . 生成树的概念
如果图G的生成子图是一棵树，则该树T称为图G的生成树

在有线通讯网和交通网中，在保证节点连通的条件下，边数最少（可以节省材料和投资）的线路图必然是生成树，如下图所示 ：

2. 生成树的求法
上述推导不仅证明了定理的结论，同时给出了生成树的一种构造方法。根据这种方法的特点，我们称其为破圈法。
由于破圈过程中，可去掉回路上的任意一条边，因此，去的边不同得到的生成树就可能不同。


注意破圈法的特点：是先找到一个回路，之后再其上逐渐“去边”。就象对图做剪枝，最后修剪成一棵树。自然我们就会考虑，能否倒过来，用逐渐“加边”的方法得到生成树？这里的关键就在于加边的规则。
每次加的边都成为生成树的边，就必须保证加边时不能出现回路。开始时，可任意选择图G的一条边，之后按无回路的原则加边，直至构造出生成树。将此方法形象的称做避圈法。同理，根据加的边不同，所得到的生成树就可能不同。
生成树的求解方法： 破圈法、避圈法
3. 图的生成树的变换

图的一个生成树，增加一条弦，形成唯一的圈，去掉生成树的一条边，得到一个新的图的生成树。

三 . 最小生成树
1.概念
2. 最小生成树的求法
受前面生成树的构造方法的启发，对于寻找最小生成树，它的关键仍然是在边上做文章，即如何删除或选择边。为了达到所谓的最优，因此在原来没有回路的原则上，必须还要考虑边的权值。这就自然产生了相应的两种求最小生成树的方法，我们同样可以称其为破圈法和避圈法。

求最小生成树的方法之一： 破圈法
算法的去边原则为：删除回路上最长的边
即整个方法可以简单描述为：任取一个回路后，删除回路上权值最大的边。
求最小生成树的方法之二：避圈法（又称Kruskal算法）
方法的思路是：在无回路的原则下，优先地选择权小的边
为了选择权值小的边，在避圈法中需要对图中的边，根据其权值进行排序。

破圈法与避圈法的比较
对某图G，应该采取什么方法寻找最小生成树好，需要具体问题具体分析。
一般来讲，若图中边数较少时用破圈法较好，此时图中的圈少，计算能快一些。但当边数较多时，则用避圈法相对要快一些。另外，从算法的过程来看，破圈法比较简单，容易做。而避圈法，它是通过循环、选择等过程完成，方法上比较系统，特别适合于在计算机上编程实现。

最短路问题

最短路问题是网络理论中应用最广泛的问题之一。如某城市的交通网，因城市内的道路存在单行线。因此描述交通网的图是一个有向图。决定行程时就会遇到，求某地到其它各地的最短路问题。另外许多优化问题可以使用这个模型，如设备更新、管道铺设 、线路安排、厂区布局等。
根据问题的不同，可以将最短路径分为以下两种类型：
• 求图中某一顶点到其它顶点的最短路径。
• 求图中每一对顶点之间的最短路径。

图边中的权W(e) ≥0时的求解方法
确定两点之间距离的较好方法是迪克斯特拉(E.W.Dijkstra)在1959年提出的一个算法, 这一算法至今仍是解这个问题的最好算法

注意：Dijkstra算法只适用于边的权W(e) ≥0情况

Dijkstra算法又称标号法

图边中的权W(e) ＜0时的求解方法
Dijkstra算法仅适合于所有的权wij ≥0的情形。如果当赋权有向图中存在有负权弧时，则该算法失效。
在存在负权时，可采取逐次逼近算法来求解。

举例1： 对如下赋权有向图，求V1到各点的最短路。

网络系统最大流问题

最大流问题： 给了一个带收发点的网络，其每条有向边的权值称为容量，在不超过每条有向边的容量的前提下，求出从发点到收点的最大流量。
1 . 网络与流
2. 可行流与最大流
对实际的网络系统上的流，有几个特点：
• 发点的总流出量和收点的总流出量必然相等。
• 每一个中间点的流入量与流出量的代数和等于0。
• 每一个有向边上的流量不能超过它的最大通过能力（即流量）。
显然任意一个网络上的可行流总是存在的。如：v(f)=0
所谓网络系统的最大流问题，就是求在给定的网络上寻求一个可行流f，使其流量v(f)达到最大，并且满足上面的平衡条件及容量限制。
最大流问题是一个特殊的线性规划问题，但是利用它与图的紧密关系求解更为直观简便。

3 . 增广链



基本定理

求最大流的标号法
设已有一个可行流（若D中没有f，可以令f为零流），标号算法分2个步骤：
第一步是标号过程，通过标号来寻找增广链；
第二步是调整过程，沿增广链调整 f 以增加流量

1. 标号过程
   
2. 调整过程
   

网络系统最小费用最大流问题

在实际的网络系统中，当涉及到有关流的问题时，不仅需要考虑流量，有时还经常要考虑费用的问题。比如一个输油管网络运输系统，既要考虑输油量最大，又要考虑总费用最小。 最小费用最大流问题就是解决此类问题。

一 . 最小费用最大流的数学模型

解法1：（线性规划解法）——分2步

解法2： 网络图论的解法
二 . 最小费用最大流的网络图论解法
最小费用最大流的网络图论的解法类似于求最大流的网络图论方法

本章介绍了“最小费用最大流问题”、“最大流问题”、和“最短路径问题”三种网络优化问题。
实际，“运输问题”也是一种网络优化问题。
以上四类问题具有许多共同的特征，如都是具有网络结构的线性规划问题。这些问题的变量都是与网络的边对应，约束条件都与网络的节点对应，因此这些问题的线性规划模型中，约束系数矩阵都具有网络问题的特点（不满秩、单位模性质）。

中国邮递员问题

问题:
邮递员从邮局出发，走遍投递区域的所有街道，送完邮件后回到邮局，怎样使所走的路线全程最短.
若街道图（街道的交叉口为顶点）存在欧拉道路，显然此路是全程最短.

一. 欧拉回路问题（一笔画，边的遍历问题）
欧拉链（欧拉道路）：经过G的每一条边一次且仅一次的道路称之。
欧拉圈（欧拉回路）：经过G的每一条边一次且仅一次的回路称之。
一笔画： 存在欧拉链或欧拉圈的图。
结论1： 一个连通图G是欧拉图的充要条件是G中无度数为奇数的点。
结论2： 一个连通图G有欧拉道路的充要条件是G中有且仅有2个度数为奇数的点。

在许多情况下，图中并不存在欧拉回路。这时如何完成边的遍历问题，使得所走的路径最短。
比如某邮递员从邮局出发，需要遍历他所管辖的每一条街道，将信件送到后返回邮局，要求所走的路径最短。
这个问题是我国的数学家管梅谷先生在1962年首先提出的，因此国际上通常将此类问题称为中国邮路问题。

二. 求解中国邮路问题的图上作业法



中国邮路问题也可以表示为：
在一个有点的度数为奇数的图中，要求增加一些重复边，使得新的连通图不含有度数为奇数的点，并且增加的重复边总权最小。
为方便起见，增加重复边后不含奇点的新连通图叫做邮递路线，而总权最小的邮递路线称为最优邮递路线。
下面通过例子分别介绍初始邮递路线的确定、改进，以及一个邮递路线是否是最优路线的判定标准，从而得到求解的图上作业法。