图与网络优化

Posted 2021-02-16 fangxiaoqi

一、图论概述

　　图论是应用广泛的运筹学分支，在实际生活、生产和科学研究中，有很多问题可以用图论的理论和方法来解决。

　　经典的图论问题有：欧拉七桥问题、环球旅行问题、中国邮递员问题......

　　欧拉回路：从图中任意一点出发，经过图中所有边一次且仅一次的回路。

　　哈密顿回路：从图中任意一点出发，经过图中所有顶点一次且仅一次的回路。

 　　中国邮递员问题：

　　

　　一名邮递员负责投递某个街区的邮件。如何为他（她）设计一条最短的投递路线？（从邮局出发，经过投递区内每条街道至少一次，最后返回邮局）由于这一问题是我国管梅谷教授1960年首先提出的，所以国际上称之为中国邮递员问题。

 

二、图的基本概念

　　(仅供科普，以后有机会单独写一篇)

　　图分为：有向图和无向图。

　　点数p、边数q、关联边、环、多重边、点的次(度)d(v)、奇点、偶点、悬挂点、孤立点、悬挂边

　　相关定理：①任一图中，所有点的次之和是边数的两倍(即度数之和为2q)。②任一图中，奇点的个数为偶数。

　　链：图中的点、边交错的序列。（初等链：所有点均不相同的链简单链：所有边均不相同的链。）

　　圈：两个端点相同的链。

　　中间点：除了两个端点以外的点。

　　连通图、连通分图、生成子图、

　　基础图G(D)：从有向图D中去掉所有弧的箭头得到的无向图。

　　始点、终点、弧

　　路：一条按照弧方向前进的链。

　　回路：起、终点相同；初等路：各顶点不相同的路 

三、最小树问题

1. 树：一个无圈的连通图。

　　如：

　　

2. 树的6个等价性质：

设图 T = (V, E)是一个树，其中点数为p、边数q

（1）T为无圈的连通图

（2）T无圈，且q＝p-1

（3）T连通，且q＝p-1 

（4）T无圈，但增加一条边，可得到一个且仅一个圈

（5） T连通，但舍弃一条边，图便不连通

（6）T中任意两个顶点之间恰有一条链

3. 生成树(支撑树)：若T=(V,E′)是G=(V,E)的生成子图，且T是一个树，则T为G的一个生成树。

　　图G有生成树的充要条件是图G是连通的。

 　　证明：

　　必要性是显然的。

　　充分性 设G是连通图，若G不含圈，则G本身是一个树，从而G是它自身的一个支撑树。若G含圈，任取一个圈，从圈中去掉任意一条边，得到G的一个支撑子图G1。若G1不含圈，则G1是G的一个支撑树；否则继续上述破圈操作，直到没有圈为止，最终找到一个支撑子图，它不含圈，是G的一个支撑树。

　　寻找生成树的方法：“破圈法”和“避圈”法

　　破圈法：破坏已有的圈。

　　避圈法：连接点的时候避免构成圈。

　　所以生成树对于连通图来说是不唯一的。

4. 赋权图：给图G＝(V,E)，对G中的每一条边[vi, vj]，相应地有一个数wij，则称这样的图G为赋权图，wij称为边[vi, vj]上的权。

 　　

5. 最小生成树：T = (V, E′)是G的一个生成树，T中所有边的权之和为生成树的权w(T)。如果T*的权w(T*)是G的所有生成树的权中最小者，则称为G的最小生成树树（最小树）

6. 最小树问题：

　　例：某工厂在6个车间之间的道路网如图所示，每条道路的距离已知。

　　

　　问：如何沿道路架设电话线网，才能使电话线的总长最小？

　　最小树问题就是在赋权图上求最小生成树的问题

 　　

 　　避圈法操作起来相对比较麻烦。

 　　例：

　　

 

四、最短路问题

　　最短路问题是在赋权有向图中寻求最短路的问题。

 　　

 　　求解方法：Dijkstra算法

 　　适用范围：正费用网络（wij ≥ 0），即权值不为负。

　　基本步骤：

　　

　　

 

 

 

 

 

五、网络最大流问题

　　问题引入：

　　

　　要求制定一个运输方案使从v1到v6运输的产品数量最多。

　　基本概念：

　　网络：给定一个有向图D = (V,A)，在V中指定一点为发点（始点），记为vs，而另一点为收点（终点），记为vt，其余点为中间点。对于每一个弧(vi,vj) ∈A ，对应有一个c(vi,vj)≥0，简写为cij，称为弧的容量。这样的D叫做一个网络，记为D = (V, A, C)

　　流：所谓网络上的流是指定义在弧集合A上的一个函数f = {f(vi,vj)}，并称f(vi,vj)为弧(vi,vj)的流量，简称fij。

　　可行流：

　　

　　零流：令所有弧的流量fij=0，就得到一个零流，其流量v(f)=0。

　　最大流： 使流量v(f)最大的可行流。

　　最大流问题的数学模型：

　　

　　(非)饱和弧、(非)零流弧：

　　

　　向前弧、向后弧：