图解常用算法

Posted 2021-06-23 java快乐学

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我们经常会用到一些算法，而大部分算法过于抽象，记忆起来比较困难，而使用图解可以帮助我们更好地理解和记忆这些算法。

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一、深度优先搜索算法（DFS）

深度优先搜索算法（Depth-First-Search），是搜索算法的一种。它是图论中的经典算法，利用深度优先搜索算法可以产生目标图的相应拓扑排序表，利用拓扑排序表可以方便的解决很多相关的图论问题，如最大路径问题等等。一般用堆数据结构来辅助实现 DFS 算法。DFS 属于盲目搜索。

深度优先遍历图算法步骤：

1. 访问顶点 v；

2. 依次从 v 的未被访问的邻接点出发，对图进行深度优先遍历；直至图中和 v 有路径相通的顶点都被访问；

3. 若此时图中尚有顶点未被访问，则从一个未被访问的顶点出发，重新进行深度优先遍历，直到图中所有顶点均被访问过为止。

上述描述可能比较抽象，举个实例：

DFS 在访问图中某一起始顶点 v 后，由 v 出发，访问它的任一邻接顶点 w1；再从 w1 出发，访问与 w1 邻接但还没有访问过的顶点 w2；然后再从 w2 出发，进行类似的访问，…如此进行下去，直至到达所有的邻接顶点都被访问过的顶点 u 为止。

接着，退回一步，退到前一次刚访问过的顶点，看是否还有其它没有被访问的邻接顶点。如果有，则访问此顶点，之后再从此顶点出发，进行与前述类似的访问；如果没有，就再退回一步进行搜索。重复上述过程，直到连通图中所有顶点都被访问过为止。

 

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二、广度优先搜索算法（BFS）

广度优先搜索算法（Breadth-First-Search），是一种图形搜索算法。简单的说，BFS 是从根节点开始，沿着树 (图) 的宽度遍历树 (图) 的节点。如果所有节点均被访问，则算法中止。BFS 同样属于盲目搜索。一般用队列数据结构来辅助实现 BFS 算法。

算法步骤：

1. 首先将根节点放入队列中。

2. 从队列中取出第一个节点，并检验它是否为目标。

如果找到目标，则结束搜寻并回传结果。

否则将它所有尚未检验过的直接子节点加入队列中。

3. 若队列为空，表示整张图都检查过了——亦即图中没有欲搜寻的目标。结束搜寻并回传「找不到目标」。

4. 重复步骤 2。

 

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三、归并排序算法

归并排序（Mergesort，台湾译作：合并排序）是建立在归并操作上的一种有效的排序算法。该算法是采用分治法（DivideandConquer）的一个非常典型的应用。

算法步骤：

1. 申请空间，使其大小为两个已经排序序列之和，该空间用来存放合并后的序列

2. 设定两个指针，最初位置分别为两个已经排序序列的起始位置

3. 比较两个指针所指向的元素，选择相对小的元素放入到合并空间，并移动指针到下一位置

4. 重复步骤 3 直到某一指针达到序列尾

5. 将另一序列剩下的所有元素直接复制到合并序列尾

 

 

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四、Dijkstra算法

戴克斯特拉算法（Dijkstra算法）是由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·戴克斯特拉提出。迪科斯彻算法使用了广度优先搜索解决非负权有向图的单源最短路径问题，算法最终得到一个最短路径树。该算法常用于路由算法或者作为其他图算法的一个子模块。

该算法的输入包含了一个有权重的有向图 G，以及 G 中的一个来源顶点 S。我们以 V 表示 G 中所有顶点的集合。每一个图中的边，都是两个顶点所形成的有序元素对。(u,v) 表示从顶点 u 到 v 有路径相连。我们以 E 表示 G 中所有边的集合，而边的权重则由权重函数 w:E→[0,∞] 定义。因此，w(u,v) 就是从顶点 u 到顶点 v 的非负权重（weight）。边的权重可以想像成两个顶点之间的距离。任两点间路径的权重，就是该路径上所有边的权重总和。已知有 V 中有顶点 s 及 t，Dijkstra 算法可以找到 s 到 t 的最低权重路径 (例如，最短路径)。这个算法也可以在一个图中，找到从一个顶点 s 到任何其他顶点的最短路径。对于不含负权的有向图，Dijkstra 算法是目前已知的最快的单源最短路径算法。

算法步骤：

1. 初始时令 S={V0},T={其余顶点}，T 中顶点对应的距离值

若存在，d(V0,Vi) 为弧上的权值

若不存在，d(V0,Vi) 为∞

2. 从 T 中选取一个其距离值为最小的顶点 W 且不在 S 中，加入 S

3. 对其余 T 中顶点的距离值进行修改：若加进 W 作中间顶点，从 V0 到 Vi 的距离值缩短，则修改此距离值

重复上述步骤 2、3，直到 S 中包含所有顶点，即 W=Vi 为止

 

 

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五、Bellman-Ford算法

Bellman-Ford算法能在更普遍的情况下（存在负权边）解决单源点最短路径问题。对于给定的带权（有向或无向）图 G=(V , E)，其源点为 s，加权函数 w 是边集 E 的映射。对图 G 运行Bellman-Ford算法的结果是一个布尔值，表明图中是否存在着一个从源点 s 可达的负权回路。若不存在这样的回路，算法将给出从源点 s 到图 G 的任意顶点 v 的最短路径d[v]。Bellman-Ford算法是在带权图中计算从单一源点出发到其他节点的最短路径的算法。尽管算法复杂度大于 Dijkstra 算法，但是它适用于包含了负值边的图。

 

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六、Prim算法

普里姆算法（Prim算法），图论中一种重要的算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（英语：Vertex (graph theory)），且其所有边的权值之和亦为最小。Prim算法是用于在带权无向图中计算最小生成树的贪婪算法。换言之，它能够在图中抽取出连接所有节点的边的最小代价子集。

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七、Kruskal算法

克鲁斯卡尔算法（ruskal算法）同样是计算图的最小生成树的算法，跟 Prim 算法的区别在于Kruskal算法不需要图是连通的。