[剑指offer]面试题34：丑数

Posted 2021-05-23 Wecccccccc

面试题34：丑数
题目：我们把只包含因子2、3和5的数称作丑数（Ugly Number）。求按从小到大的顺序的第1500个丑数。例如6、8都是丑数，但14不是，因为它包含因子7。习惯上我们把1当做第一个丑数。

❖ 逐个判断每个整数是不是丑数的解法，直观但不够高效

代码如下:

bool IsUgly(int number)
{
	while (number % 2 == 0)
		number /= 2;
	while (number % 3 == 0)
		number /= 3;
	while (number % 5 == 0)
		number /= 5;

	return (number == 1) ? true : false;
}

int GetUglyNumber(int index)
{
	if (index <= 0) return 0;

	int number = 0;
	int uglyFound = 0;
	while (uglyFound < index)
	{
		++number;

		if (IsUgly(number))
		{
			++uglyFound;
		}
	}
	return number;
}

❖ 创建数组保存已经找到的丑数，用空间换时间的解法

前面的算法之所以效率低，很大程度上是因为不管一个数是不是丑数我们对它都要作计算。
接下来我们试着找到一种只要计算丑数的方法，而不在非丑数的整数上花费时间。
根据丑数的定义，丑数应该是另一个丑数乘以2、3或者5的结果（1除外）。因此我们可以创建一个数组，里面的数字是排好序的丑数，每一个丑数都是前面的丑数乘以2、3或者5得到的。
这种思路的关键在于怎样确保数组里面的丑数是排好序的。
假设数组中已经有若干个丑数排好序后存放在数组中，并且把已有最大的丑数记做M，我们接下来分析如何生成下一个丑数。
该丑数肯定是前面某一个丑数乘以2、3或者5的结果，所以我们首先考虑把已有的每个丑数乘以2。
在乘以2的时候，能得到若干个小于或等于M的结果。
由于是按照顺序生成的，小于或者等于M肯定已经在数组中了，我们不需再次考虑；还会得到若干个大于M的结果，但我们只需要第一个大于M的结果，因为我们希望丑数是按从小到大的顺序生成的，其他更大的结果以后再说。
我们把得到的第一个乘以2后大于M的结果记为M2。同样，我们把已有的每一个丑数乘以3和5，能得到第一个大于M的结果M3和M5。那么下一个丑数应该是M2、M3和M5这3个数的最小者。
前面分析的时候，提到把已有的每个丑数分别都乘以2、3和5。
事实上这不是必须的，因为已有的丑数是按顺序存放在数组中的。
对乘以 2 而言，肯定存在某一个丑数T2，排在它之前的每一个丑数乘以2得到的结果都会小于已有最大的丑数，在它之后的每一个丑数乘以 2 得到的结果都会太大。
我们只需记下这个丑数的位置，同时每次生成新的丑数的时候，去更新这个T2。对乘以3和5而言，也存在着同样的T3和T5。

有了这些分析，我们就可以写出如下代码：

int GetUglyNumber_Solution2(int index)
{
	if (index <= 0) return 0;

	int *pUglyNumbers = new int[index];
	pUglyNumbers[0] = 1;
	int nextUglyIndex = 1;

	int *pMultiply2 = pUglyNumbers;
	int *pMultiply3 = pUglyNumbers;
	int *pMultiply5 = pUglyNumbers;

	while (nextUglyIndex < index)
	{
		int min = Min(*pMultiply2 * 2, *pMultiply3 * 3, *pMultiply5 * 5);

		pUglyNumbers[nextUglyIndex] = min;

		while (*pMultiply2 * 2 <= pUglyNumbers[nextUglyIndex]) ++pMultiply2;
		while (*pMultiply3 * 3 <= pUglyNumbers[nextUglyIndex]) ++pMultiply3;
		while (*pMultiply5 * 5 <= pUglyNumbers[nextUglyIndex]) ++pMultiply5;

		++nextUglyIndex;
	}

	int ugly = pUglyNumbers[nextUglyIndex - 1];
	delete[] pUglyNumbers;
	return ugly;
}

int Min(int number1, int number2, int number3)
{
	int min = (number1 < number2) ? number1 : number2;
	min = (min < number3) ? min : number3;
	return min;
}

和第一种思路相比，第二种思路不需要在非丑数的整数上做任何计算，因此时间效率有明显提升。但也需要指出，第二种算法由于需要保存已经生成的丑数，因此需要一个数组，从而增加了空间消耗。如果是求第 1500个丑数，将创建一个能容纳1500个丑数的数组，这个数组占内存6KB。而第一种思路没有这样的内存开销。总的来说，第二种思路相当于用较小的空间消耗换取了时间效率的提升。

测试用例：
● 功能测试（输入2、3、4、5、6等）。
● 特殊输入测试（边界值1、无效输入0）。
● 性能测试（输入较大的数字，如1500）。
本题考点：
● 考查应聘者对时间复杂度的理解。绝大部分应聘者都能想出第一种思路。在面试官提示还有更快的解法之后，应聘者能否分析出时间效率的瓶颈，并找出解决方案，是能否通过这轮面试的关键。
● 考查应聘者的学习能力和沟通能力。丑数对很多人而言是个新概念。有些面试官喜欢在面试的时候定义一个新概念，然后针对这个新概念出面试题。这就要求应聘者听到不熟悉的概念之后，要有主动积极的态度，大胆向面试官提问，经过几次思考、提问、再思考的循环，在短时间内理解这个新概念。这个过程就体现了应聘者的学习能力和沟通能力。