2018-2019 ACM-ICPC, China Multi-Provincial Collegiate D. Take Your Seat(数学概率)

Posted 2021-05-22 issue是fw

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题意

子问题一

现在有$n$名乘客,第$i$名乘客的座位是编号$i$

现在第一个乘客丢了座位票,所以他会随机找一个位置坐下

然后第二个,第三个乘客按顺序来选座位…

如果他的座位被占据了,他会随机选一个空闲的坐下,否则做原来的位置

问最后一个乘客做自己位置的概率

子问题二

现在$1..m$名乘客不是按顺序选座,而是以随机的顺序,显然有$m!$种顺序

问最后一个上飞机的乘客坐上正确位子的概况

---

子问题一

①.若$1$号做对了位置,那么所有人都可以做对位置

否则

②.若$1$号做到了$k$位置,那么$[2,k-1]$都做自己的位置

而$k$人要么做$1$号位置,要么做$[k+1,n]$的位置之一

如果做$1$号位置,问题结束,之后左右人可以做对位置

如果做$[k+1,n]$的位置之一,子问题,可以递归下去

递推式如下

	f[1] = 0, f[2] = 0.5;
	for(int i=3;i<=50;i++)
	{
		double p = 1.0/i;
		f[i] = p;//一开始就做对了位置
		for(int k=2;k<=i;k++)	f[i] += p*f[i-k+1]; //做到第k个位置 
	}

子问题二

设$1$号人最后一个上飞机,显然所有人可以坐在自己的位子上,此时概率为$1$

否则第$1$个人在第$i$次上飞机,最后一个人做对概率恒等于$0.5$,这就是子问题一

所以$$ans=\frac{1}{m}+\frac{1}{2}\ast \frac{1}{m}=\frac{m+1}{2m}$$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 5e6+10;
double f[maxn];
int n,m,t,casenum;
int main()
{
	cin >> t;
	while( t-- )
	{
		cin >> n >> m;
		printf("Case #%d: ",++casenum);
		if( n==1 )	printf("1.000000 ");
		else	printf("0.500000 ");
		printf("%.6lf\\n",(m+1.0)/(2*m) );
	}
}