2019 China Collegiate K. MUV LUV UNLIMITED(思维,博弈)

Posted 2021-05-22 issue是fw

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题意

两个人玩游戏,每次可以删除树上至少$1$个叶子节点

无法操作的人输,求先后手的胜负情况

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①.当只有一条链的时候,点数奇数先手胜,偶数后手胜利

②.当存在多条链时

Ⅰ.若某个叶子节点$x$存在兄弟节点$y$,那么先手必胜。

证明

若删去$x$是必败态那么就删去,先手必胜

若删去$x$后是必胜态,后手可以采用点集为$s$的删除策略来必胜

那么先手删去$x+s$后是必败态,先手必胜。

且因为点集$s$不存在$x$的父亲,所以先手可以操作点集$x+s$

Ⅱ.当不存在叶子节点有兄弟节点时,考虑如何转化到Ⅰ的情况

当所有叶子节点到离自己最近的分支祖先距离都是偶数时候

不管先手怎么操作,后手都可以效仿先手,返回给先手还是偶数

直到存在一个叶子节点有兄弟节点,那么后手就可以赢

否则

先手可以一步把所有奇数叶子节点变成偶数,相当于互换先后手,先手必胜

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 2e7+10;
vector<int>vec[maxn];
int ans,leaf[maxn];
void dfs(int u,int depth)
{
	if( vec[u].size()==0 )
	{	
		leaf[u] = 1;//是叶子节点
		if( depth&1 )	ans = true;//先手必胜 
	}
	int leafa = 0; 
	for( auto v:vec[u] )
	{
		if( vec[u].size()>=2 )	dfs(v,1);//新的分支 
		else	dfs(v,depth+1);
		leafa |= leaf[v];//标记自己是否有儿子是叶子节点 
	}
	if( vec[u].size()>=2 && leafa )	ans = true;
}
int main()
{
	int t; cin >> t;
	while( t-- )
	{
		int n; cin >> n;
		for(int i=2;i<=n;i++)
		{
			int x; scanf("%d",&x);
			vec[x].push_back( i );
		}
		ans = 0; 
		if( vec[1].size()>=2 )	dfs(1,0);
		else		dfs(1,1);
		if( ans )	printf("Takeru\\n");
		else	printf("Meiya\\n");
		for(int i=1;i<=n;i++)	vec[i].clear(),leaf[i] = 0;
	}
}

发现其实第三种情况覆盖前两种,所以可以简化一下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 2e7+10;
vector<int>vec[maxn];
int ans;
void dfs(int u,int depth)
{
	if( vec[u].size()==0 )
	{
		if( depth&1 )	ans = true;//先手必胜 
	}
	for( auto v:vec[u] )
	{
		if( vec[u].size()>=2 )	dfs(v,1);//新的分支 
		else	dfs(v,depth+1);
	}
}
int main()
{
	int t; cin >> t;
	while( t-- )
	{
		int n; cin >> n;
		for(int i=2;i<=n;i++)
		{
			int x; scanf("%d",&x);
			vec[x].push_back( i );
		}
		ans = 0; 
		if( vec[1].size()>=2 )	dfs(1,0);
		else		dfs(1,1);
		if( ans )	printf("Takeru\\n");
		else	printf("Meiya\\n");
		for(int i=1;i<=n;i++)	vec[i].clear();
	}
}