洛谷 P4463 [集训队互测 2012] calc（拉格朗日插值优化DP）

Posted 2021-05-21 繁凡さん

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Weblink

https://www.luogu.com.cn/problem/P4463

Problem

$k\le 10^9,n\le 500$，$p\le 10^9$，并且 $p$ 为素数，$p>k>n+1$。

Solution

显然对于一种取值的合法序列，这个序列不管怎么排列，合法序列的值都一样的，我们先考虑暴力计算，设 $dp(i,j)$ 表示前 $i$ 个数取值域范围 $[1,j]$ 的所有取值不同的合法序列的值之和。直接转移很不方便，我们可以只考虑递增的序列，即我们仅需讨论第 $i$ 个数取还是不取 $j$

即：

$$dp[i][j]=j\ast dp[i-1][j-1]+dp[i][j-1]$$

显然答案就是所有取值不同的合法序列的值之和乘上排列的方案数 $n!$。答案就是 $dp[n][k]\times n!$，但是 $k\le 1e9$，考虑优化。

一个DP的递推式可以看作是一个多项式，多项式 $f_n(i)$ 就是 $dp[n][i]$，那么答案就是 $dp[n][k]=f_n(k)$

代入递推式得：

$$f_i(j)-f_i(j-1)=j\ast f_{i-1}(j-1)$$

设 $f_i(j)$ 是 $g(n)$ 次多项式

前面是一个差分的形式，显然有结论：

• 两个 $n$ 次多项式的差分是一个 $n-1$ 次多项式

• 两个 $n$ 次多项式的前缀和是一个 $n+1$ 次多项式

自己代入展开算一下就知道了

则 $f_i(j)-f_i(j-1)$ 是 $g(n)-1$ 次多项式，$j\ast f_{i-1}(j-1)$ 是一个 $g(n-1)+1$ 次多项式（乘上了一个 $j$ 嘛），即：

$$g(n)-1=g(n-1)+1，g(n)=g(n-1)+2$$

显然 $g(0)=0$，则 $g(n)=2\times n$。也就意味着我们只需要计算出 $f$ 的前 $2\times n+1$ 项的值，就可以唯一确定一个 $2\times n$ 项的多项式，并且因为我们得到的 $2\times n+1$ 项的值中的 $x$ 还是连续的，也就意味着我们可以用拉格朗日插值法 ，在 $O(2\ast n)/O(n^2)$ 的复杂度下直接求出 $f_n(k)$，既是所求的答案。由于需要 $O(n^2)$ 预处理$dp$ 数组，所以复杂度为 $O(n^2)$。

当然本题还有生成函数的做法，利用多项式科技可以做到 $O(nlogn)$ ：P5850 calc加强版。

Time

$O(n^2)$

Code

 #include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define int long long
const int N = 5007;

int n, m, k, mod;
int dp[N][N];

int qpow(int a, int b)
{
	int res = 1;
	while(b) {
		if(b & 1) res = res * a % mod;
		a = a * a % mod;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}

int inv(int x)
{
	return qpow(x, mod - 2);
}

signed main()
{
	scanf("%lld%lld%lld", &k, &n, &mod);
	int m = 2 * n + 1;
	for(int i = 0; i <= m; ++ i)
		dp[0][i] = 1;
	for(int i = 1; i <= n; ++ i) {
		for(int j = 1; j <= m; ++ j) {
			dp[i][j] = (dp[i][j - 1] + dp[i - 1][j - 1] * j % mod) % mod;
		}
	}

	int ans = 0, fact = 1;
	for(int i = 1; i <= n; ++ i)
		fact = fact * i % mod;
		
	if(k <= m) {
		ans = dp[n][k];
		printf("%lld\\n", ans * fact % mod);
		return 0;
	}
	for(int i = 1; i <= m; ++ i) {
		int up = dp[n][i], down = 1;
		for(int j = 1; j <= m; ++ j) {
			if(i != j) {
				up = up * (k - j + mod) % mod; 
				down = down * (i - j + mod) % mod;
			}
		}
		ans = (ans + up * inv(down) % mod) % mod;
以上是关于洛谷 P4463 [集训队互测 2012] calc（拉格朗日插值优化DP）的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
 jzoj 2866. 集训队互测 2012Bomb
 [集训队互测2012]calc——DP
 jzoj 2867. 集训队互测 2012Contra
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 LuoguP4463 [集训队互测2012] calc DP+拉格朗日插值
 [集训队互测]calc