QM for Windows 之网络流模型（最小生成树问题）

Posted 2021-04-23 梦常徒花

网络流问题是一类特殊的线性规划问题，如前面提到过的运输问题，除了可以写成线性规划的形式，还能将该问题构建成网络的形式求解。今天介绍网络流基本问题之一的 最小生成树问题 的QM for Windows求解方法。

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最小生成树问题与最短路径问题相似，但它的目标是将网络中所有的节点连接起来，从而使总的分支长度达到最短。

同样是求各边权值之和最小，最小生成树与最短路问题有什么区别呢？

1. 最小生成树能保证连通所有节点的路径之和最小，但不能保证任意两点之间是最短路径。

2. 一般而言，最小生成树针对无向图，最短路问题针对有向图。针对无向图的最短路问题很容易扩展到有向图上，但在有向图上求一个给定树根的最小生成树（有向树）比求无向图中的最小生成树复杂得多。

在物理网络设计方面，架设通往各个乡镇的通讯设施，且要求建设成本最小的问题，是最小生成树问题的一个典型应用。本文介绍如何用 MQ for Windows已有的模块求解此类问题。

Step1 ：启动QM for Windows程序，点击顶端“VIEW”->"Module Tree"，打开右侧的模型列表，点击“Networks”，点击下拉列表的“Minimum Spanning Tree”，初始化模型。“Branches”是设置边的数量（默认无向图）、右侧命名可忽略。

Step2：输入每一条边的信息（起点、终点、边的权值），左上角输入所要求解问题的起始根节点（1）。输数据的时候可以按照起点从小到大，终点不小于起点的顺序遍历着填，以保证在图较密集时能不遗漏。

Step3：点击“Solve”即解得的最小生成树方案。“Include”表示该边是否包含在最小生成树内。

求解结果为：

生成树的最小路径之和 为： 26

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图源：徒花君 | 部分来源网络

编辑：徒花君

参考文献：

1.伯纳德·W. 泰勒 数据、模型与决策 (12th)[M]. 北京：中国人民大学出版社.2019. 

2.傅家良.运筹学方法与模型 第2版[M].上海：复旦大学出版社.2014.