分治思想--快速排序解决TopK问题

Posted 田野上的花生

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了分治思想--快速排序解决TopK问题相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

----前言

最近一直研究算法,上个星期刷leetcode遇到从两个数组中找TopK问题,因此写下此篇,在一个数组中如何利用快速排序解决TopK问题。

先理清一个逻辑解决TopK问题→快速排序→递归→分治思想,因此本章内容会从此逻辑由后往前叙述

何为分治思想?

从字面上就很容易能够推出"分而治之",维基百科的解释为"就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题,直到最后子问题可以简单的直接求解,原问题的解即子问题的解的合并。" 简述一下后半部分"遇到子问题可以简单的直接求解",打个比方,当最后分解到最后子问题不可再分时,例如只有一个元素或者该元素小于某个值。返回该值,这时子问题就成功解决。通过一个函数,将子问题合并,最后解决了原问题。这里用归并排序来让大家可以更容易的理解。

在讲解归并排序之前,通过简单的介绍一下递归,这是分治思想的基础。

用递归需要满足三个条件

  • 一个问题的解可以分为多个子问题的解

  • 这个问题分解之后的子问题,除数据规模不同,其余完全相同

  • 有边界条件以此限制

若是不容易理解,打个比方,当你与朋友去电影院观影时,你现在想知道自己的位置是第几排,恰好现场黑灯瞎火,什么都看不见,这时你询问你前一排座位号是什么,若恰好他也不知道,这时,他同你一样做出相同的行为也问前面的人,最终问到第一排,第一排就是边界条件,第一排告诉第二排,以此类推,最后你就清楚当前你所在的排数。以下是一张归并排序的图片与视频


归并排序首先是分解成子问题,如下所示,分解到只剩下一个元素,然后从这个元素开始,通过归并排序,由下而上返回结果,最终解决原问题,因此关键是分解问题函数与归并函数

以下是我用Python写的源代码,可供参考

def merge_sort(array):
    if (len(array) <= 1):
        return array
    mid = int(len(array) / 2)
    left = merge_sort(array[:mid])
    right = merge_sort(array[mid:])
    return merge(left, right)


def merge(left, right):
    result = []
    i = j = 0
    while i < len(left) and j < len(right):
        if left[i] <= right[j]:
            result.append(left[i])
            i += 1
        else:
            result.append(right[j])
            j += 1
    #此处有i,j两个索引,当其中一边推入完成,另一边可直接将剩下的推入
    result += left[i:]
    result += right[j:]
    return result


array = [53286147]
print(merge_sort(array))

此处解决递归与分治思想的问题

快速排序

快速排序同样是运用分治思想,以一个中枢轴元素,左边放置小于中枢轴元素,右边大于中枢轴元素,中枢元素一般选为最后一个元素(更方便理解),通过分治思想--下面的qucik_sort_c函数为划分为成子问题,partition为分区函数,最后得出原问题的答案。

快速排序的难点在于partition分区函数,但本质也是很简单,同样是有两个索引,一个索引用于遍历当前分区数组所有元素(下面即为j),一个索引为指向小于中枢轴元素,若是小于中枢轴元素,增加该索引的值,如下i即为该索引,下面的视频的中枢轴元素为第一个元素

def quick_sort(A):
    qucik_sort_c(A, 0, len(A) - 1)


def qucik_sort_c(A, p, r):
    if p >= r: return
    q = partition(A, p, r)  # 获得分区点
    qucik_sort_c(A, p, q - 1)
    qucik_sort_c(A, q + 1, r)


def partition(A, p, r):
    pivot = A[r]
    i = p
    for j in range(p, r):
        if A[j] < pivot:
            A[i], A[j] = A[j], A[i]
            i = i + 1
    A[i], A[r] = A[r], A[i]
    return i
A = [8,10,2,3,6,1,5]
quick_sort(A)
print(A)

当然,快速排序也可以像归并排序,创建一个新的数组,最后两个数组归并,返回成一个新的数组,但这样增加了空间复杂度,且快速排序由于中枢轴的选取不同,最坏时间复杂度为n2,因此最好还是原地排序。

快速排序解决TopK问题

TopK问题是一个数组中第K大的数字,比如[1,7,3,5,4]中第2大的数字为3,如果说成第K小的数字也可以,只要能够理解即可。TopK问题在大数据中是一个常用的算法,比如说从100万的数据中找出前100个热点频率最高的词。解决TopK问题有很多种方法,大家若是有兴趣可以自己搜索,因为作者本人对算法也只是处在初步的阶段。这里仅仅是通过快速排序的方法解决TopK问题。

选择当前数组元素的最后一个为中枢轴,由上面的快速排序可以知道,每一次的排序都可以知道中枢轴的下标是多少,这样可以确定当前中枢轴为第几大的数字,这里通过快速排序的思想,TopK小于当前的中枢轴下标,那么向左走,反之,若是中枢轴下标等于TopK的值,直接返回即可。原理其实并不难,下面有一处地方需注意,当TopK的值大于中枢轴下标时,需要向右走,每一次需要减去之前的中枢轴下标,可以通过下面自己所画的图理解。

def smallest_k(arr, l, r, k):
    if (k > 0 and k <= r - l + 1):
        index = partiton(arr, l, r)
        if (index - l == k - 1):
            return arr[index]
        elif (index - l > k - 1):
            return smallest_k(arr, l, index - 1, k)
        else:
            return smallest_k(arr, index + 1, r, k - 1 - index + l )


def partiton(arr, l, r):
    pivot = arr[r]
    i = l
    for j in range(l, r):
        if arr[j] < pivot:
            arr[i], arr[j] = arr[j], arr[i]
            i = i + 1
    arr[i], arr[r] = arr[r], arr[i]
    return i


array = [13,4,12,17,2,44,55,92,1,18,6]
print(smallest_k(array, 0, len(array) - 18),array)

后记

自己本身是打算去搜索找到答案,但并没有自己认同的答案,因此只能不断的尝试。此文章借鉴了许多大佬的推文,之后会推如何在两个数组中找到TopK问题,这是自己刷leetcode 中的寻找两个有序数组的中位数有感,因为得考虑时间复杂度,自己也通过各种途径才知道如何解决的。

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参考链接:

极客时间-数据结构与算法之美:https://time.geekbang.org/column/intro/126

算法动画:https://visualgo.net/en

GeeksForGeek:https://www.geeksforgeeks.org/quick-sort/


以上是关于分治思想--快速排序解决TopK问题的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

归并排序 && 快速排序

归并排序 && 快速排序

《数据结构与算法之美》09——排序归并排序与快速排序

算法学习---分治法和快速排序

归并和快速排序思想的延伸

JavaScript 实现 归并排序快速排序