一文搞懂仿射变换

Posted 2023-01-16 修炼之路

导读

在图像处理中，我们经常需要对图像进行各种操作如平移、缩放、旋转、翻转等，这些其实都是图像的仿射变换。通过本篇文章，你能够知道它们的实现原理以及如何应用它们。

仿射变换

仿射变换也称仿射投影，是指几何中，对一个向量空间进行线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间。所以，仿射变换其实也就是再讲如何来进行两个向量空间的变换
假设有一个向量空间$k$：
$$k=(x,y)$$
还有一个向量空间$j$：
$$j=(x^{\prime },y^{\prime })$$
如果我们想要将向量空间由$k$变为$j$，可以通过下面的公式进行变换
$$j=k\ast w+b$$
将上式进行拆分可得
$$\begin{gathered} x^{\prime }=w_{00}\ast x+w_{01}\ast y+b_0 \\ {y}^{\prime }=w_{10}\ast x+w_{11}\ast y+b_1 \end{gathered}$$
我们再将上式转换为矩阵的乘法
$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{w}_{00}& w_{01}& b_0\\ w_{10}& w_{11}& b_1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]=M\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(3)}$$
通过参数矩阵$M$就可以实现两个向量空间之间的转换，在进行仿射变换的时候我们也只需要一个矩阵$M$就可以实现平移、缩放、旋转和翻转变换。

接下来，会先介绍原理然后利用OpenCV来实现相应的例子，这里主要利用OpenCV的warpAffine函数来实现仿射变换

warpAffine函数参数：

• src：输入的图像数组
• M：仿射变换矩阵
• dsize：变换后图像的大小
• flags：使用的插值算法
• borderValue：边界的填充值

图像平移

在平面坐标系有点$P(x,y)$和点$P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$，如果我们想要将$P$点移动到$P^{\prime }$通过下面的变换就可以实现
$$\begin{gathered} x^{\prime }=x+\Delta x \\ {y}^{\prime }=y+\Delta y \end{gathered}$$
其中$\Delta x$和$\Delta y$就是x方向上和y方向上的偏移量，我们将其转换为矩阵的形式
$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& \Delta x\\ 0& 1& \Delta y\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]=M\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$
上面的矩阵$M$就是仿射变换的平移参数，接下来我们利用OpenCV中的warpAffine函数来实现

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def show_compare_img(original_img,transform_img):
    _,axes = plt.subplots(1,2)
    #显示图像
    axes[0].imshow(original_img)
    axes[1].imshow(transform_img)
    #设置子标题
    axes[0].set_title("original image")
    axes[1].set_title("warpAffine transform image")
    plt.show()


def translation_img():
    # 定义一个图像平移矩阵
    # x向左平移(负数向左,正数向右)20个像素
    # y向下平移(负数向上,正数向下)50个像素
    M = np.array([[1, 0, -20], [0, 1, 50]], dtype=np.float)
    # 读取需要平移的图像
    img = cv2.imread("test.jpg")
    # 将图片由BGR转为RGB
    img = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2RGB)
    # 定义平移后图像的大小,保持和原图大小一致
    dsize = img.shape[:2][::-1]
    # 便于大家观察这里采用白色来填充边界
    translation_img = cv2.warpAffine(img, M, dsize, borderValue=(255, 255, 255))
    # 显示图像
    show_compare_img(img, translation_img)

translation_img()

图像翻转

有时候我们我们需要对图像进行水平翻转、垂直翻转、镜像翻转(同时进行水平和垂直翻转)，想要实现这个功能并不难，我们可以通过opencv内置的flip方法很容易实现，还可以通过numpy的索引来实现，这里我们主要介绍通过仿射变换矩阵来实现这个功能

上图中的$A、B、C、D$表示图像的四个顶点，如果我们需要对图像进行水平翻转，那么我们就需要将$A$点和$B$点进行交换， C