数字信号处理相关7（从连续时间傅里叶级数到快速傅里叶变换）

Posted 2022-12-06 Times_poem

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另一种说明

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在计算机上编程做信号处理时，我们通常用的是FFT, 但是开始学信号处理时，一般是从FS开始的。所以这里整理一下从FS到FFT“演变”的过程。以下是傅里叶“家族”的一些名称:

FS(Fourier Series)  连续时间周期信号的傅里叶级数

FT(Fourier Transform)  连续时间非周期信号的傅里叶变换

DTFT(Discrete Time Fourier Transform) 离散时间傅里叶变换

DFS(Discrete Fourier Series) 离散傅里叶级数

DFT(Discrete Fourier Transform) 离散傅里叶变换

FFT(Fast Fourier Transform) 快速傅里叶变换

 

首先，要从FS说起的。假设有一个正弦信号sin(w0t)，那么在频域它是什么呢？就是在w0处有一条竖线！如果有一个信号是sin(w0t)+sin(w1t)，那么在频域，它是两条竖线(w0处和w1处)。如果是更为复杂的周期信号，那么相应得，在频域有好多条竖线!(好像说了一堆废话)。不过，我们可以通过这些竖线，知道这个复杂的周期信号的成分，也可以通过抹掉一些频率的方法改变周期信号的成分(滤波)。总之，FS给我们提供了一种方法，使我们可以用来分析连续时间周期信号的成分。需要提一下，在时间上连续的周期信号，在频域是离散的！

 

但是，在实际中，大部分信号是非周期的，于是就FT就到来了。如何将周期信号推广到非周期信号呢？高人们是这么做的：先假设这个信号是周期的，周期为T，于是可以得到该周期信号的FS, 然后令T->无穷大，这时，相应的FS就变成了FT。具体在频域上的反映是，原本有间隔的竖条在T->无穷大时连在了一起，在频域变成了连续的！所以在时间上的非周期信号，在频域上是连续的!

 

如果我们对一个周期信号x(t)抽取它的一个周期xT(t)做FT， 那么频域是连续的，而该原始信号x(t)在频域(FS)的那些竖条相当于是对FT的采样. x(t)的周期越小，竖条的间隔越宽，x(t)的周期越大，竖条的间隔越窄，如果x(t)的周期是无穷大，那么这时竖条的间隔就趋于0了，也就是频域的波形连在了一起，FS变成了FT。

 

什么？为什么x(t)周期越小，竖条的间隔越宽？因为竖条的间隔其实就是周期信号的基频，周期T越小，基频越大，所以竖条的间隔就越宽。

好了，连续时间的说完了，但是对我们来说并没有什么卵用，因为我们计算机中的数据是离散的x[n]，根本不是x(t)。所以，接下来说的就是离散时间的傅里叶级数DFS。

 

正如连续周期信号x(t)可以用一系列正弦波叠加来表示(这里只考虑收敛的情况)，离散周期信号x[n]也可以用一系列“正弦序列”叠加来表示。那么在频域，这一系列“正弦序列”就对应了一堆竖线。每个竖线的高低就反应了原始序列x[n]中该频率成分的强弱。这就是DFS，时域的信号x[n]，在频域是一堆竖线，如果我们想去掉一个频率成分，在频域把这条竖线抹掉就好了，然后反变换回去。这时的时域序列y[n]就没有该频率的成分了，过程如下:

    时域x[n]-->计算DFS频域系数-->频域X[w]-->去掉某些频率成分(让对应系数为0)-->频域Y[w]-->从频域系数回到时域-->时域y[n]

很好！但是，现实很残酷，这是不可能的！

 

因为，既然x[n]是周期的，那么在时域就是无限的，从古至今一直存在的，真的有这样的信号吗？我不知道。当然，你可以造一个N点的信号x1[n]，并且想当然认为这个信号是周期的，(N为周期，也就是x[n]=x1[n+kN])，这时，你认为你造的信号x1[n]就是周期信号x[n]的一个周期。因为DFS计算过程只需要一个周期，所以你可以按上述处理过程从x1[n]得到y1[n]，也就是在你的想象中从x[n]的到了y[n]。当然，这样做在实际中是完全没用的，因为实际中我们处理的信号肯定是非周期的。于是，DTFT出场了。

因为我们实际中处理的信号是非周期的，就需要得到这种非周期的离散信号的频域表示，然后进一步处理。正如连续时间信号由周期变为非周期的处理一样，我们可以先把非周期离散时间序列x[n]当成是周期为N的信号x'[n]的一个周期，然后领N->无穷大。这样，就得到了非周期离散信号的频域表示，这就是DTFT。

但是，很不幸的是，正如连续时间非周期信号一样，它在频域上是连续的！我们在计算机上怎么表示这个连续的频域？回想一下，我们的离散时间信号是哪里来的？好像也是从连续时间信号来的。怎么来的呢？采样！对了，我们可以对频域也进行采样！这样，连续的频谱被我们采样成了离散频点的频谱。时域的采样间隔相对于采样周期，由奈奎斯特定律给出，那么频域的采样间隔该选多少呢？高人们说了，为了恢复N点的离散时间间隔，频率的采样点在一个周期内(离散时间信号的频域是周期的)也应该是N!那么采样间隔就是2π/N！这样，我们就可以由N点的输入序列x[n]得到它的频域表示: N点的X[k], 其中k=0,1,...,N-1.分别对应频间隔为2π/N的N个频率，这样就可以在计算机中处理了。这就是DFT。

 

FFT是为了速度而生的，正如它的名字一样。为了计算更快，高人们对DFT的计算方法进行了改进，就是FFT。我们在计算机世界使用的也是FFT。

所以FS到FFT的演变，其实就是理论分析到实际应用的演变。

以下是一些相关的公式: