PCA-2 主成分与协方差矩阵的关系

Posted 丘文波

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了PCA-2 主成分与协方差矩阵的关系相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

这篇博客主要介绍如何基于样本的协方差矩阵来求解样本的主成分。

1. 样本协方差矩阵

1.1 样本矩阵

假设对m维随机变量 x = ( x 1 , x 2 , ⋯   , x m ) T \\boldsymbolx=\\left(x_1, x_2, \\cdots, x_m\\right)^\\mathrmT x=(x1,x2,,xm)T进行n次独立观测, x _ 1 , x _ 2 , ⋯   , x _ n x\\_1, x\\_2, \\cdots, x\\_n x_1,x_2,,x_n表示观测样本,其中 x _ j = ( x 1 j , x 2 j , ⋯   , x m j ) T x\\_j=\\left(x_1 j, x_2 j, \\cdots, x_m j\\right)^\\mathrmT x_j=(x1j,x2j,,xmj)T表示j个观测样本, x i j x_ij xij表示第j个样本的第i个变量, j = 1 , 2 , ⋯   , n j=1,2, \\cdots, n j=1,2,,n

X = [ x _ 1 x _ 2 ⋯ x _ n ] = [ x 11 x 12 ⋯ x 1 n x 21 x 22 ⋯ x 2 n ⋮ ⋮ ⋮ x m 1 x m 2 ⋯ x m n ] X=\\left[\\beginarrayllll x\\_1 & x\\_2 & \\cdots & x\\_n \\endarray\\right]=\\left[\\beginarraycccc x_11 & x_12 & \\cdots & x_1 n \\\\ x_21 & x_22 & \\cdots & x_2 n \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ x_m 1 & x_m 2 & \\cdots & x_m n \\endarray\\right] X=[x_1x_2x_n]=x11x21xm1x12x22xm2x1nx2nxmn

观察到在实际问题中, 不同维度的变量可能有不同的量纲, 直接求主成分有时会产生不合理的 结果。为了消除这个影响,常常对各个维度的变量实施规范化, 使其均值为 0, 方差为 1 。

在使用样本主成分时,一般假设样本数据是规范化的,即对样本矩阵作如下变换:
x i j ∗ = x i j − x ˉ i s i i , i = 1 , 2 , ⋯   , m ; j = 1 , 2 , ⋯   , n x_i j^*=\\fracx_i j-\\barx_i\\sqrts_i i, \\quad i=1,2, \\cdots, m ; \\quad j=1,2, \\cdots, n xij=sii xijxˉi,i=1,2,,m;j=1,2,,n
其中
x ˉ i = 1 n ∑ j = 1 n x i j , i = 1 , 2 , ⋯   , m s i i = 1 n − 1 ∑ j = 1 n ( x i j − x ˉ i ) 2 , i = 1 , 2 , ⋯   , m \\beginarrayl \\barx_i=\\frac1n \\sum_j=1^n x_i j, \\quad i=1,2, \\cdots, m \\\\ s_i i=\\frac1n-1 \\sum_j=1^n\\left(x_i j-\\barx_i\\right)^2, \\quad i=1,2, \\cdots, m \\endarray xˉi=n1j=1nxij,i=1,2,,msii=n11j=1n(xijxˉi)2,i=1,2,,m

之前的样本矩阵变成为:
X = [ x _ 1 x _ 2 ⋯ x _ n ] = [ x 11 ∗ x 12 ∗ ⋯ x 1 n ∗ x 21 ∗ x 22 ∗ ⋯ x 2 n ∗ ⋮ ⋮ ⋮ x m 1 ∗ x m 2 ∗ ⋯ x m n ∗ ] X=\\left[\\beginarrayllll x\\_1 & x\\_2 & \\cdots & x\\_n \\endarray\\right]=\\left[\\beginarraycccc x_11^* & x_12^* & \\cdots & x_1 n^* \\\\ x_21^* & x_22^* & \\cdots & x_2 n^* \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ x_m 1^* & x_m 2^* & \\cdots & x_m n^* \\endarray\\right] X=[xPCA-2 主成分与协方差矩阵的关系

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