信号频率估计经典功率谱估计及其MATLAB仿真

Posted 2022-10-07 Zhi Zhao

目录

• 一、经典功率谱估计方法
• • 1、周期图法
  • 2、BT法
  • 3、Welch法
• 二、仿真实例
• • 1、性能比较
  • 2、总结
  • 3、MATLAB代码
• 三、参考文献

一、经典功率谱估计方法

对于离散时间平稳随机过程 $u(n)$，它的功率谱 $S(w)$ 描述了随机过程 $u(n)$ 中各频率成分的平均功率的大小。因此，可以通过计算功率谱密度函数 $S(w)$ 来间接的了解随机过程 $u(n)$ 中各频率成分的构成情况。
根据维纳-辛钦定理，平稳随机过程 $u(n)$ 的自相关函数 $r(m)$ 与其功率谱 $S(w)$ 是一对傅里叶变换关系。利用相关函数的傅里叶变换来估计随机过程功率谱的方法，称为经典功率谱估计。

1、周期图法

由于随机过程 $u(n)$ 的 $N$ 个观测值 $u_N(n)$ 是确定信号，对其进行傅里叶变换，得：
$$U_N(w)=\sum _{n=0}^{N-1}{u}_N(n)e^{-jwn}$$
根据帕斯瓦尔关系，上式的模的平方是确定信号 $u_N(n)$ 的能量谱，对能量谱除以持续时间 $N$，其结果则为 $u_N(n)$ 的功率谱估计，将其作为随机过程 $u(n)$ 的功率谱的估计，表示为：
$$S_{per}(w)=\frac{1}{N}|U_N(w){|}^2$$
该方法称为功率谱估计的周期图法(periodogram)。该方法由于是直接通过观测数据的傅里叶变换求得，其又被称为直接法。

2、BT法

1958年，Blackman和Tukey在维纳-辛钦定理的基础上，提出了自相关谱估计法(简称BT法)。其具体实现方法为：先由观测数据估计出自相关函数，然后对其求傅里叶变换，以此结果作为对功率谱的估计。
该方法的计算步骤为以下两个公式：
$$r(m)=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}{u}_N(n)u_N^{\ast }(n-m)$$
$$S_{BT}(w)=\sum _{m=-M}^{M}r(m)e^{-jwm}，0\le M\le N-1$$
上述方法是通过自相关函数间接得到的，因此又被称为间接法。
当 $M=N-1$ 时，上式的功率谱估计可表示为：
$$S_{BT}(w)=\frac{1}{N}|U_N(w){|}^2$$
比较周期图法和BT法可以看出，周期图法是BT法的一个特例。当 $M=N-1$ 时，周期图法与BT法相同；当 $M<<N-1$ 时，BT法是对周期图法的平滑。

3、Welch法

1967年Welch提出了修正平均周期图法，即Welch法，它是在Bartlett法的基础上改进的。
Welch法估计信号功率谱的计算步骤如下：
（1）将长度为 $N$ 的信号 $u_N(n)$ 进行分段，相邻的两段数据交叠一半。若每段信号的长度为 $M$，信号将被分成 $L$ 段，即：
$$L=\frac{N-M/2}{M/2}$$
（2）将第 $i(1\le i\le L)$ 段信号 $u_N^i(n)$ 与长度为 $M$ 的窗函数 $w(n)$ 相乘。
（3）对加窗后的每段信号，利用周期图法求得其功率谱，即：
$$S_{per}^i(w)=\frac{1}{M}|\sum _{n=0}^{M-1}{u}_N^i(n)w(n)e^{-jwn}{|}^2$$
（4）对每一段估计到的功率谱 $S_{per}^i(w)$ 进行求和平均，则得到Welch法的功率谱估计：
$${\stackrel{-}{S}}_{per}(w)=\frac{1}{L}\sum _{i=1}^L{S}_{per}^i(w)$$

二、仿真实例

设随机过程 $u_N$