无人机群编队分析的定位问题分析与思考-2（数学建模竞赛2022年B题）

Posted 2022-09-24 YouCans

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了无人机群编队分析的定位问题分析与思考-2（数学建模竞赛2022年B题）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

本文作者：youcans@qq.com
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无人机群编队分析的定位问题分析与思考-1
无人机群编队分析的定位问题分析与思考-2
2022年数学建模国赛（A题/B题/C题）评阅要点

你真的看懂问题了吗？本文对题目逐句讲解，解读题目中隐含的条件和提示。

2022年高教社杯全国大学生数学建模竞赛结束了，在此我们对 2022年 B题进行一些分析与思考。

1. 问题的背景介绍很重要

题目要读三遍。不仅是数学建模竞赛，任何问题都是这样。

数学建模竞赛的题目，其中不仅给出了问题的背景、条件、需求，也包括了很多隐含条件和暗示（提示）。我们逐一解读，你可以想想我说的有没有道理，你当时是不是都看出来了。

有些赛题的介绍，真是纯粹的背景介绍，主要作用是进行爱国主义教育，与解题的关系不大。但本文的背景介绍并不是这样，可谓字字玑珠，句句箴言，不可不察。

（1）无人机集群在遂行编队飞行时，为避免外界干扰，应尽可能保持电磁静默，少向外发射电磁波信号。

这句话是对题目的背景交代。但这句话与问题有没有关系呢？
可以认为没有关系。只是单纯的背景介绍，用以说明为什么只能用少数几架无人机发射信号。
也可以认为有关系。后文 “每次选择编号为 FY00 的无人机和圆周上最多 3 架无人机遂行发射信号“，为什么说最多 3架呢？因为要应尽可能少向外发射电磁波信号。
进一步地，在选择优化目标时，能不能，需不需要把 ”尽可能少向外发射电磁波信号“ 作为优化目标呢？我认为如果这样考虑当然是合理的。

（2）为保持编队队形，拟采用纯方位无源定位的方法调整无人机的位置，即由编队中某几架无人机发射信号、其余无人机被动接收信号，从中提取出方向信息进行定位，来调整无人机的位置。

调整无人机位置的目的是保持编队队形。
纯方位无源定位，前文已讨论过，意指只有方位数据，准确的说只有方位夹角，没有其它数据，特别是没有位置、距离、速度等空间数据可以使用。
某几架无人机发射信号：只有这几架特殊的无人机带有发射机，能发射信号；还是所有无人机都有发射机，当前时刻只让其中某几架发射信号？显然这是不同的。
我反复读题后认为，文中并没有明确这个问题。从问题1、2题面考虑出题者的意思，推测所有无人机都能用作发射机。但是讨论数学问题是不应该推测出题者意图的，就是要抠字眼。从这个角度说，如果你就认为题目没有说清楚，并作出假设 “只有某几架无人机带有发射机，能发射信号“，我认为也是合理的。显然，这个假设将导致完全不同的结果。
其余无人机被动接收信号，发射信号的无人机能不能接收信号？题目也没有明确说，但隐含条件是能发射信号的无人机也可以接收其它无人机发射的信号。也就是说，所有无人机都可以接收信号。——【注】：评阅指南表示不推荐这样的假设，但我认为评阅指南的说法是有问题的，具体将在下一篇文章中分析。

（3）编队中每架无人机均有固定编号，且在编队中与其他无人机的相对位置关系保持不变。

无人机有编号，我们才能用编号来指示某一架无人机，才能识别方向夹角。
在编队中与其它无人机的相对位置关系保持不变，这句话严格来说是有问题的。应该说：我们要求或希望每架无人机在编队中与其他无人机的相对位置保持不变；或者说：每架无人机在编队中与其他无人机的相对位置基本保持不变。
这句话主要是表明本机从接收的发射信号而获得的夹角数据，是已知构成夹角的另外两个顶点的编号和（近似）相对位置的。
隐含条件：即使各无人机位置有偏差，但与本机夹角的次序不变。例如，对于图1 的 04，无论夹角数值如何，逆时针方向依次为 01、02、03，这个次序不变。由于这句话在题目背景中，且以图1 配合说明，所以我是这样理解的，而且应该理解这对于任何队形都是适用的。
但是，我对这个隐含条件其实是非常担心的。如果我的理解没有错误，那么结合图2、图3 的编队队形，就会发现这个条件高度敏感，甚至是不成立的。例如，对于 FY11 来说，01、02、04、07 的任意小的偏差都会导致夹角次序变化。
能不能理解为拓扑结构不变？最近邻关系不变？似乎可以，但仔细想想都存在不合理，或不能成立。
我也认为我的这个理解可能有问题。但是，“与其他无人机的相对位置关系保持不变”，还可以如何理解呢，而且应该是有意义的理解（即对于解题有影响的解释）呢？欢迎大家赐教。

（4）接收信号的无人机所接收到的方向信息约定为：该无人机与任意两架发射信号无人机连线之间的夹角（如图 1 所示）。

明确夹角的定义， $\\theta(t,p1,p2)$ ，也即可以用来建模的数据。
严格地说，t 也不一定已知数据，因为只有方位夹角，没有其它数据。当然，我们可以合理假设出发前已经完成时间同步，且各机之间没有时间误差，即首长已经对过表了。
不要认为这是咬文嚼字，例如在卫星导航和定位问题中，时间同步就是必须考虑和非常重要的问题。
还有一个更重要问题，这个夹角是标量还是矢量，或者说角度能否表示方向？根据题目的文字及附图1，似乎将夹角理解为标量比较合理。但是，结合上文 “相对位置关系保持不变”，如果据此理解角度可以表示方向，或者结合相对位置关系可以判定方向，似乎也说的通。这个问题很重要，直接影响结果！

（5）例如：编号为 FY01、FY02 及 FY03 的无人机发射信号，编号为FY04 的无人机接收到的方向信息是 1， 2 和 3。。

结合附图进一步说明夹角的定义。因为问题只有这一个数据，出题者也是担心读者千万不能理解错了，或者产生歧义。
但是，我还是要挑一点毛病：图中真的有 3个角度吗？这 3个角度并不独立， $\\alpha 3 = \\alpha 1 + \\alpha2$ 。虽然描述为 3个角度也没错，但其实并不是 3个独立变量。

2. 题干里隐藏的条件和暗示

本题分为 2个问题，其中问题 1 有前后连贯的 3个小问，而问题 2 虽然是问题 1 的递进，但联系并不紧密。

（1）编队由 10 架无人机组成，形成圆形编队，其中 9 架无人机（编号 FY01~FY09）均匀分布在某一圆周上，另 1 架无人机（编号 FY00）位于圆心（见图 2）。

这句话说的很清楚，就是字面意思，不会有歧义。
但这句话没有说的，题目中也没有明示的，是 9 架无人机相对于圆心之间的方位角度，是确定的还是可变的。这决定着每架无人机的目的位置 $(r,\\theta)$ 是不是预设不变的。
根据题意，结合 “发射信号的无人机位置无偏差”，“其余位置略有偏差”，“1#无人机初始位置 (100,0)” 及附图，可以认为各架无人机的目标位置是预设不变的，其中 1# 位于圆心 FY00 的 0度位置，由此可以确定 02～09 无人机的目标角度和目标位置。
建议将这一 “题意”明确写入 “模型假设” 中。
如果非要认为题目没有明确限制各无人机的目标位置，因此 01～09 角度可变，我认为这也不能说错，确实没有明示。但这样处理，会使问题比较复杂。但是，理论上说，可能获得更快的调节速度。

（2）无人机基于自身感知的高度信息，均保持在同一个高度上飞行。。

这是全文中最重要的条件之一，即假设无人机处于同一水平平面，从而将问题从三维定位问题简化为二维问题。
相信大家都能正确解读，但是，你把这一点写进论文的 “模型假设” 中了吗？

（3）位于圆心的无人机（FY00）和编队中另 2 架无人机发射信号，其余位置略有偏差的无人机被动接收信号。

很重要的条件。
首先，另两架无人机是哪两架？你可以理解为自行指定，例如指定 01、04 为另两架发射机；你也可以认为题意是指对于任意两架发射机 A、B，分别位于 $\\theta_A)$ 、 $\\theta_B)$ ，要求建立定位模型。其实二者差别不大，建模方法和过程是相同的，但在参赛时还是可能会纠结一下。
“其余位置略有偏差”，什么叫略有偏差，0.1，0.5，还是 1.0，5.0？题目没有说。没有说就不好说了，你可以认为略有偏差是距离小于 0.1，我可以认为是小于 1.0，他认为是小于 10 也行。
那么，这个偏差大小是不是对于解题没有影响呢？开始建模以后会发现，好像确实没有影响，于是就不必纠结了。但是，真的没有影响吗？如果没有影响，为什么在题目中 3次提到 “没有偏差”，每个小问里都要说明？
其实 “略有偏差” 不是任意解释，而是有精确界定的。而且对于问题却非常重要，不过对于解题暂时可以忽略。我们先卖个关子，后文再谈。

（4）当发射信号的无人机位置无偏差且编号已知时，建立被动接收信号无人机的定位模型。

很重要的条件。
发射信号的无人机位置无偏差，转化为数学问题：已知三架发射机 A、B、C 的位置坐标，且其位置不变（隐含条件），已知 A/B/C 三点到平面上任意一点 X 的夹角 AXB、AXC、BXC（只有两个夹角是独立的），求 X 的位置坐标。
隐含条件：不论选择哪三架发射机，三点在平面上不共线。因此本问题的建模可以不考虑三点共线情况。注意问题 2 不满足这个隐含条件。

（5）某位置略有偏差的无人机接收到编号为 FY00 和 FY01 的无人机发射的信号，另接收到编队中若干编号未知的无人机发射的信号。

这句话有些困惑，或者说这个条件令人困惑。“位置略有偏差” 问题前已讨论，不再赘述。
下句 “发射信号的无人机位置无偏差”，因此 FY00、FY01 和若干编号未知的无人机位置都是无偏差的。前文讨论了题目背景中的 “编队中每架无人机均有固定编号，且在编队中与其他无人机的相对位置关系保持不变” 。有固定编号与编号未知是两回事，并不矛盾。
但是，既然发射机位置无偏差，且与本机相对位置关系保持不变，那么通常情况下直接就可以推算出发射机的编号。
进一步地，发射机位置无偏差，已知 FY00 精确位置，已知编号未知的 FF0k 与 FY00 的夹角（带有方向），那也是可以直接推算出发射机编号的。
也许可以解释为，这个推算出发射机编号，虽然很容易，但与已知发射机编号还是不同的，需要表达出推算过程，哪怕只是简单的加减法或查表。
是不是应该这样理解，我反复阅读仍然感到困惑，也欢迎大家赐教。

（6）若发射信号的无人机位置无偏差，除 FY00 和 FY01外，还需要几架无人机发射信号，才能实现无人机的有效定位？

如果上文的理解无误，发射机编号可以推算，则本问题的条件是，所有发射机的位置无偏差、编号已知，且已知 FY00、FY01 位置，还需要几架发射机才能实现定位？
问题 1（1）不是已经给出 3 架无人机（圆心+圆周×2）建立定位模型吗？这就已经证明了 3 架发射机可以定位，模型和公式都有了。而不论从题意看，还是从建立模型的过程，显然 2 架发射机是无法完成定位的。所以，这不就是再来一架，一共三架就可以定位吗？这么简单的问题还要回答吗？
且慢，FY00、FY01 的位置坐标已知吗？当然已知了，圆心+圆周，队形如图 2，位置无偏差，表 1 又直接给出了具体坐标。但是，表 1 的数据是在题干中给出的，还是子问题中给出的？是在哪个子问题中给出的，能不能视为问题 1（2）的条件？如果不使用或不能使用表 1 中无人机的坐标，还能不能说 FY00、FY01 的位置坐标已知？
如果这么理解，那就是说：发射机位置无偏差，已知 FY00、FY01 的夹角信号，已知 FY00、FY01 的编号，还已知 FY0k 与FY00、FY01 的夹角，能否建立本机的定位模型。如果不能，则需要一台发射机才能否建立定位模型？
即便最后结果相同，但是否考虑到这些问题，建模过程和求解方法就会不同，这也决定了答案是对还是错。你觉得是不是这样呢？
另外，题目做到这里，你是不是对于 “位置略有偏差” 有了一些新的认识？即使你还说不清略有偏差是多大，但也应该模模糊糊感觉到，如果偏差过大，你的建模过程可能就有问题，有缺陷了。是的，你的模型失败的点，就是 “位置略有偏差” 的边界。这个边界，显然是精确值，而不是主观感受。

（7）按编队要求，1 架无人机位于圆心，另 9 架无人机均匀分布在半径为 100 m 的圆周上。

这句话说的很清楚，没有歧义。
但是注意根据这句话并不能确定各无人机的目标位置，还缺少一个基准位置/基准角度。需要确定圆周上任一无人机目标位置，例如与表 1 中 0#、1# 机坐标结合，才能定位各无人机的目标位置。

（8）当初始时刻无人机的位置略有偏差时，…，使得 9 架无人机最终均匀分布在某个圆周上。

题目中的这句话最长，也最复杂。我们一点点分析，一步步讨论。
先看表 1，显然其中的隐含条件是 0#、1# 无人机处于精确位置，不需要调整，其它无人机都存在偏差。但是严格地说，由于题目没有明示，并未禁止对 1# 无人机的角度进行调整。特别是本句中最后的 “最终均匀分布在某个圆周上”，“某个” 二字更加可以作为最终位置不唯一，1# 机可以调节的依据。不过在此我们也就不节外生枝了，就认为 1# 机位置不需要、不允许调整好了，毕竟是 1# 嘛，把这条写到模型假设就 OK 了。
但是，表 1 能否适用于问题 1 的其它问题？一般来说，应该认为不能适用，也不应该作为模型假设。
“初始时刻无人机的位置略有偏差” 并不严谨，这是针对所有的无人机，还是所有的发射机，还是接收机？结合表 1，可以理解为 0#、1# 无人机初始位置没有偏差，2～9#无人机初始位置略有偏差。
“每次选择编号为 FY00 的无人机和圆周上最多 3 架无人机遂行发射信号”，这句话有几个暗示：
- “每次” 意味着接收信号和调整方案是按次进行，而不是按时间 t 进行，可以认为是对连续信号离散采样，形成兵棋的回合制。
- 因此夹角函数其实是 $\\theta(k,p1,p2)$ ，在两次调整之间夹角信号是不变的——非常非常重要！
- 最多 3 架，意味着你可以使用 3 架的信号来调整，但如果你能只用 2 架发射机搞定也可以，甚至也允许这次用 3架，下次用 2架——不要以为没有这样的方案。
”其余无人机根据接收到的方向信息“，如前所述，发射信号的无人机能不能接收信号？从中文字面来理解， ”其余“ 不应该包括任何发射机，但这样会使问题复杂的多。考虑到发射机可以改变，就隐含了所有无人机都可以作为发射机，因此也都可以成为 ”其余“ 的接收机，因此具有接收功能，因此此处 ”其余“ 无人机也可以包括非本机的其它发射机。简单地说，假设任一架发射机发射的信号，都可以被其余无人机所接收。这样可以合理地简化问题，你觉得可以这样理解吗？还是写到模型假设中吧。——【注】：评阅指南表示不推荐这样的假设，但我认为评阅指南的说法是有问题的，具体将在下一篇文章中分析。
”每次调整的时间忽略不计“，这是什么意思？问题只设计夹角，不涉及时间、距离、速度，跟调整时间还会有什么关系吗？这个假设是必要的，是与离散化的 ”每次“ 相匹配的，保证本次不论采用什么调整方案都在下次接收夹角信号之前能够完成。
”调整到理想位置“，这句话很有趣。什么是理想位置，怎么判断是否调整到理想位置？其实这与 “略有偏差” 的表述类似，看似模糊，其实是有严格的数学定义的。简单地说，就是调控算法的收敛判据，通常可以误差精度表达，本问题用角度精度表达也可以。

（9）利用表 1 给出的数据，仅根据接收到的方向信息来调整无人机的位置，请给出具体的调整方案。

这句话本身说的很清楚，也没有歧义。
注意此时才提到表 1，因此一般应该认为表 1 只是本小题的条件。
“仅根据接收到的方向信息来调整”，明确指出不能使用位置、距离、速度等信息，也不能使用时间数据，因此隐含条件是 “方向信息” 不是随时间变化的函数，而是随次数变化的函数，方向信息在两次接收/调整之间是不变的。这一隐含条件对于制定具体的调整方案非常重要。
具体而言，由于方向夹角在两次调整之间是不变的，因此在本次调整过程中，无法根据当前的实时的夹角信号来判断是否完成/结束调整。进一步地，由于位置只是 “略有偏差”，因此不适当的调整方案，可能越调越远，偏差越来越大——这是完全可能的，属于控制系统的稳定性问题。

（10）实际飞行中，无人机集群也可以是其他编队队形，例如锥形编队队形（见图 3，直线上相邻两架无人机的间距相等，如 50 m）。

这句话的表述没有什么问题。
不过，什么是锥形？这个 “锥形” 是不是与我们通常的理解有些不同？那么，本问题叙述及图 3 中的队形，都是等边三角形吗？是的，相邻两架无人机的间距相等。
本问题要解决的，是图 3 这个具体编队队形吗，还是以图 3 为例任意规模的锥形编队？从题目来说，是指图 3 这个具体编队。不过，如果解决了图 3 的问题，基本上也就可以解决任意规模的锥形编队问题。

（11）仍考虑纯方位无源定位的情形，设计无人机位置调整方案。

这句话的表述没有什么问题，但有很多问题值得我们思考与讨论。
“仍考虑纯方位无源定位的情形” 是明确指出，不能使用位置、距离、速度、时间等辅助信息，不允许通过假设条件突破这个要求。
题目除此就没有给出其它条件了，那么此前的哪些条件可以使用，哪些条件不能使用呢？简而言之，“问题1” 之前都属于公共的背景材料，都可以视为问题 2 的背景和条件；而 “问题1” 中所有内容都与问题 2 无关，不能视为问题 2 的条件。
但是，由于问题 2 的条件较少，可以说是比较开放的，我们受问题 1 的启发，可以而且需要合理地作出一些问题假设。例如：
- 水平高度，所有无人机均保持着同一高度飞行；
- 初始位置，0# 或其它某无人机的位置无偏差，某些或全部无人机的位置略有偏差；
- 发射机和接收机，每次可以指定某些无人机发射信号，除本机外的其它无人机都可以接收发射信号。
没有合理假设的调整方案，严格的说都是不完整、不严密的。