A8. 无人机编队飞行定位分析与讨论-大结局

Posted 2023-01-13 YouCans

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了A8. 无人机编队飞行定位分析与讨论-大结局相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

新开一个系列，重新复盘分析，真心值得一读：

无人机群编队分析的定位问题分析与思考-1
无人机群编队分析的定位问题分析与思考-2
2022年数学建模国赛（A题/B题/C题）评阅要点

文章目录

1. 算法讨论

1.1 定点定角模型的轨迹是圆或圆弧，平面上几个圆可以确定坐标呢？

参见某乎问题，或者在某度搜一下：

【一动点P到两定点的夹角是定值，请问 P 点的运动轨迹是什么？】（https://www.-----.com/question/542665419）
【特殊的动点轨迹专题二之到两定点连线夹角问题】（https://zhuanlan.-----.com/p/248497065）

定弦定角，顾名思义，弦是固定的，也就是弦的长度是不变的。定角的意思，是弦所对应的角度大小固定，也就是不变的意思。根据圆周角定理，我们知道圆周角等于圆心角的一半，那么这个圆周角的顶点不是固定的，它旋转的轨迹是圆或者圆弧。

线段定，角度大小定（因此要求发射源位置无偏差，这很重要）。

1.2 脑筋急转弯：朝三暮四还是朝四暮三？

两定点与动点成一夹角，决定一个圆（圆弧）。能不能确定平面上的一个点？
如果不能的话，至少需要几个点，几个圆？
前问已经证明几个定点可以确定平面上的一个点？
至少要几个定点才能确定一个点的坐标，且只要有几个定点就能确定一个点的坐标？

1.3 1+3 的调整方案？

多读几遍题目，否则很容易误解。
提示：
（1）另外有 9架，“每次”选择 3架。
（2）每次不一定选相同的 3架。

1.4 这个编队很酷，不过也容易误解

提示：
（1）这不是锥形——没错，这句话是提示。
（2）解放东南，如果需要100架，1000架，你的方案还有效吗？也就是说，好的方案不是只针对 10架，15架。

2. 讨论：题目读几遍都不多

2.1 题目第一句话“为避免外界干扰，应尽可能保持电磁静默，少向外发射电磁波信号。”，与问题有没有关系？

可以认为没有关系，只是问题背景介绍，用以说明为什么只有少数几架无人机发射信号。
也可以认为有关系，“每次选择FY00和圆周上最多 3架无人机发射信号“，为什么说最多 3架呢？2 架行不行？如果 2架也可以，用 2架有什么优点与缺点呢？

2.2 问题第一句话”位于圆心的无人机和编队中另 2架无人机发射信号“。

另外 2架是哪 2架？应该理解为读者自行选择和指定的 2架，还是对于任意 2架都应给出通项模型？
前者容易一些，后者当然复杂一些。
如果可以由读者指定，你认为应该选择哪 2架无人机呢？这个问题在此问不用考虑，但此后是值得思考的。

2.3 “发射信号的无人机位置无偏差”

这个条件重要吗？很重要。
这句话在问题1(1) 中，那么该条件适用于哪些问题？其它问题是不是也可以做这样假设，是不是也必须做这样假设？

2.4 “初始时刻的无人机位置略有偏差”

是指发射信号的无人机位置有偏差，还是接收信号的无人机位置有偏差，还是都有偏差？
发射信号的无人机是否也接收其它无人机的信号？

2.5 “每次最多3架无人机发射信号”

为什么要强调“每次”，这与“最多 3架无人机发射信号”有什么不同吗？

2.6 “每次调整的时间忽略不计”

这个假设是什么意思？这个问题似乎不涉及时间啊，1秒钟、1分钟甚至 1个小时完成调整，应该没有什么不同吧？
其实这个假设很重要。这个假设把问题简化，或者说离散化，从而可以按照回合制进行兵棋推演。

3. 进阶的思考：

3.1 问题的答案是唯一的吗？

不考虑全局最优/局部最优，也不考虑误差精度。问题 1（3）的答案是唯一的吗？
还是要审题：0# 坐标 (0,0)，1# 坐标 (100,0)，所以就默认这两点为准确点，不需要调整，进而确定其它点唯一的准确位置。
否则，9架飞机在圆周均匀分布，会有无穷多的解。
即便如此，根据 1#-9# 当前位置，计算最大移动距离，也就是说我不认为 0# 是不能动的，也可能获得更小的最大移动距离。什么是最大移动距离，想一想。

3.2 假如只有 3架无人机，都可以发射信号（但每架飞机也只能获得一个夹角信号），可以定位和调整队形吗？

可以，但是要困难一些，而且只能保持队形，不能保持间距，这是比较危险的。
进一步说，3 架无人机都只凭 1个夹角信号，也是可以调整到等边三角形的，但无法控制边长。
因此这是一个不稳定平衡点，很可能等边三角形边长越来越小，最后变成 0，是另一个稳定的平衡点。
提示：这个讨论非常重要！可能在不止一个问题中都有用。不一定是用于解题，但理解这个道理非常重要。

3.3 无人机群（以FY00为例）处于相对静止，或者向某一方向运动，对问题的解答和结果有影响吗？

理论上没有影响，实际上有很大影响。
由于无人机给出了 0# 1# 等初始位置，所以隐含条件处于静止状态，所以不多做讨论。

3.4 什么是 “位置略有偏差”？偏差大小有影响吗？

（1）虽然题目给出了各节点的初始位置，但是“仅根据接收到的方向信息来调整无人机的位置”，因此在调整时不能使用各节点的初始位置，包括自己的初始位置。那么，为什么要给出初始位置？
（2）位置略有偏差，是指发射方还是接收方？或者说，这个条件对于发射方不能缺少，还是对于接收方不能缺少？
（3）位置略有偏差，能否认为该略有偏差的发射源近似处于标准位置？或者在本次调整时这样的近似处理，能不能使误差迭代下降？
（4）位置略有偏差，与调整方案的稳定性、可收敛性有没有关系，是什么关系？
（5）提示，如果没有 “位置略有偏差” 的假设，估计很多同学考虑的方案都是有问题的，即可能不稳定而发散。但给出的初始位置满足 “位置略有偏差” ，一些简单的方案也可以获得正确结果。也许这个提示超纲了，但是提示我们调整方案肯定是有不同层次的，有的只能具有较低的调节能力，而有的则有很强的调节能力。当然，首先考虑满足题目要求就可以了，但不同方案不仅体现不同思想和水平，而且与后续问题有关。

3.5 什么是调整方案？

（1）已知当前位置，目标位置，划一个箭头，是调整方案吗？
不是。
“仅根据接收到的方向信息来调整无人机的位置”，因此在调整时不能使用各节点的初始位置，包括自己的初始位置。
所以当前位置是未知的。
但由于给出了 0# 1# 等初始位置，所以隐含条件是所有编号无人机的目标位置是已知的。

（2）已知当前位置，目标位置，以某一速度运行一定时间，抵达目标位置，行不行？
不行。一是当前位置未知，二是速度、时间都未知，只能使用方向信息。准确地说是只有夹角信息。

（3）根据夹角调整，但信号源不准确，夹角有误差，怎么办？
“位置略有偏差” 意味着只要调整方案是有效的，无论发射方还是接收方，“略有偏差”都可以不断减小，直到达到预定位置。准确地说是达到预定夹角信号的精度。
如果没有 “位置略有偏差” 的假设，问题将会复杂的多，至少会导致某一类简单的调整方法不可行。

（4）什么才是完整的调整方案，你能保证这个方案收敛吗？
首先，可以假设发射源处于预定位置，且已知本机预定位置与发射源的方向（或接收的放射源之间的夹角），且已获得当前的本机位置接收的一个或多个夹角信号，容易设计出调整方案，具体说是调整方向。
其次，调整方案要能保证：调整使本机与预定位置的距离缩小，也即夹角误差减小，也即保证算法是收敛的，不会振荡或发散。
这时，就看出问题中“每次调整的时间忽略不计”是什么意思，起什么作用了。

3.6 不谈具体方案，什么才是你认为的最好的方案？

我觉得好的方案，首先是完整的，能解决题目问题的方案。注意”完整的“很重要，上节中其实对于“完整性”已经有很多提示了。你考虑的方案真的是完整的吗？例如，即使你的方案是收敛的，你有没有设置终止条件呢？

其次，好的方案，是某一性能指标较好，这里说的指标就相当于目标函数，最好能达到在该指标下的最优。
什么指标，可以有不同的考虑。例如：（1）可以考虑每次使用尽量少的发射信号源数量，因为”应尽可能保持电磁静默，少向外发射电磁波信号“。（2）可以考虑尽快完成位置调整，虽然问题中没有时间速度，但可以以调姿次数来反映。（3）可以考虑算法的稳定性、收敛性最好，也就是说对于“位置略有偏差” ，可以允许最大的偏差。（4）可以考虑通用性最强，例如对其它队形也可以适用。

无论哪种考虑，都可以说出一番道理。当然，如果通用性强，也许直接就可以得到下一个问题的答案了。

3.7 如何制定总体调整方案？

首先，有几类调整方案？

（1）简单、通用、高效、快速的编队方案
前面已经分析清楚，对于任一无人机，根据预定位置（夹角），和当前获取的若干位置（夹角）信号，都可以按照调姿方案进行调控，并逐渐缩小误差，最终达到预定位置。
因此，显然地，第一类方案，每一无人机都可以同步地、独立地，按照这一方案进行调控，达到预定位置。这样处理有几个好处：（1）完成编队调控速度最快，用时最短；（2）独立调姿，互不干扰，也没有解耦等复杂问题；（3）原则上说，这也是一种通用方案，对于任何规模、任何队形都是适用的。

（2）还会有比简单、通用、高效、快速的方案吗？
一般来说，对于复杂问题，能够找到简单、通用、高效、快速的方案，做梦都要笑醒了，这就是多快好省建设社会主义啊！难道还有比这更好的方案？
是的，简单、通用、高效、快速，也未必是最好的方案，甚至未必是好方案，甚至实践中基本上不会使用。
为什么？这个方案有几个问题：（1）对于夹角信号的精度要求较高，（2）计算比较复杂，使用比较困难；（3）稳定性相对较差，甚至存在碰撞风险；（4）关键点位无人机的故障对编队影响很大。
不展开了，直接说另外的方案吧，就是递推或递归算法。
递推算法，例如等差数列，等比数列，可以逐波次进行定位。例如一排接一排地排队，一个接一个定位，其实这里可以衍生出很多具体实施方案。例如，9=3×3， 5！= 4！+5。
递归算法。例如学校是有学院构成，学院由年级构成，年级由班级构成，班级由组（宿舍）构成，如果这些结构具有相似性，就可以递归实现。具体来说，一个 64×64 的方形矩阵可以分割为 4个 16×16 矩阵，每个 16×16矩阵可以分割为 4×4 矩阵，每个 4×4 矩阵可以分割为 4个 2×2 矩阵。只要我们能建设和管理 2×2矩阵，在一个 4×4 矩阵眼里，每个 2×2 矩阵就是一个子单元，建设和管理的方式完全可以复制。这在军队中很好理解，不就是军-师-旅-团-营-连-排-班-组，三三制嘛！
在本问题中，以及无人机编队实践中，这就是主机-僚机模式，只是僚机可以又是下一级僚机的主机。
在计算中，这个方案也会更简单，特别是针对一些特殊队形，可以更简单方便可靠。
这个思想，是不是比前一个方案更好呢？

（3）还有更好的方案吗？
有的。