短时傅立叶变换分析

Posted 2022-06-22 月疯

通过傅立叶变换可以得到信号的频谱。信号的频谱的应用非常广泛，信号的压缩、降噪都可以基于频谱。

然而傅立叶变换有一个假设，那就是信号是平稳的，即信号的统计特性不随时间变化。声音信号就不是平稳信号，在很长的一段时间内，有很多信号会出现，然后立即消失。如果将这信号全部进行傅立叶变换，就不能反映声音随时间的变化。

短时傅立叶变换(short-time fourier transform)就能解决这个问题。声音信号虽然不是平稳信号，但在较短的一段时间内，可以看作是平稳的。符合直觉的解决方案是取一小段进行傅立叶变换，这也正是短时傅立叶变换的核心思想。

 

窗函数：

从一段长的信号，截取一段信号，相当于将原始信号乘以一个方窗。方窗的傅立叶变换并不是理想的冲击函数，而是sinc函数。sinc函数除了主瓣以外，还有较高的副瓣。较高的副瓣意味着在真实频点以外，副瓣的位置上，频谱也会不为零。如果在副瓣的位置上恰好有一个幅度很小的信号，就会被完全淹没。 

sinc函数：方窗的傅里叶变换就是sinx/x

 

对于方窗较高的副瓣电平，解决方案是使用窗函数，代替简单地截取一段信号。通常使用的窗函数有hanning窗、hamming窗、Blackman-Haris窗等。

hamming窗的副瓣电平是-43dB，远小于方窗的副瓣电平-13dB。

 

 

加窗带来了新的问题。在窗的边缘，信号会乘上一个很小的数。这意味着数据并没有充分被利用，两个相邻窗之间的信号没有完全反映到频谱当中。解决办法是两个相邻的窗有一定的重叠。通常重叠区间可以选择为窗宽度的50%或者25%。

重叠还有另一个目的。信号进行短时傅立叶变换得到谱图(spectrogram)，进行一些处理之后，有时还需要恢复成为时间序列。恢复的时候必须弥补窗函数带来的影响。

hanning窗、hamming窗都是简单的正弦函数的叠加。当重叠区间较大时，窗函数的影响几乎可以忽略不计。

 

 

窗介绍：

常数的傅立叶变换是冲击函数，没有宽度。窗函数的傅立叶变换都有一定宽度。方窗的主瓣宽度最小，其次是hanning窗、hamming窗。窗函数的宽度会影响频谱的分辨率。 

窗函数	主瓣宽度
方窗	2
hanning窗	4
hamming窗	4
BlackMan窗	4
BlackMan-harris窗	8

 

 

 

 

M表示窗的宽度；

Bs表示 主瓣宽度；

Fs表示采样频率；

Fk+1-Fk表示频率分辨率，即相邻俩个频率之间的差值。