数据结构与算法之深入解析“最接近的三数之和”的求解思路与算法示例

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了数据结构与算法之深入解析“最接近的三数之和”的求解思路与算法示例相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

一、题目要求

  • 给你一个长度为 n 的整数数组 nums 和 一个目标值 target。请你从 nums 中选出三个整数,使它们的和与 target 最接近,返回这三个数的和。
  • 假定每组输入只存在恰好一个解。
  • 示例 1:
输入:nums = [-1,2,1,-4], target = 1
输出:2
解释:与 target 最接近的和是 2 (-1 + 2 + 1 = 2)
  • 示例 2:
输入:nums = [0,0,0], target = 1
输出:0
  • 提示:
3 <= nums.length <= 1000
-1000 <= nums[i] <= 1000
-104 <= target <= 104

二、求解算法

① 双指针法

  • 先让数组有序,也就是需要先对数组进行排序;
  • 然后每次固定一个元素,再去寻找另外两个元素,也就是双指针。
  • 利用 Arrays.sort(nums) 对数组进行排序。
  • 初始化一个用于保存结果的值 result = nusm[0] + nums[1] + nums[2] (不要自己设初值,直接从数组中抽取三个元素,假设这是最接近的三数之和,然后再更新)。
  • 利用下标 i 对数组进行遍历,此时就是在固定第一个元素,注意,下标 i 的边界为 i < nums.length-2,否则设置指针的时候会出现数组越界。
  • 每次遍历的过程中设置两个指针,分别是 left = i + 1、right = nums.length - 1。
  • 检查 sum = nums[i] + nums[left] + nums[right] 与 target 的距离,如果该距离比之前保存的 result 与 target 的距离更小,就更新 result。
  • 然后就是移动双指针。
  • 如果 sum 的值比 target 大,那么我们让 right–,因为数组是有序的,right --会使得下一次的 sum 更小,也就更接近 target 的值。
  • 同理,如果 sum 的值 target 小,那么我们让 left++。·
  • left++ 和 right-- 的界限自然是 left != right,如果 left == right,说明我们已经将所有的元素都遍历过一遍。
  • 重复上面的操作,直到 i 循环结束为止,返回 result。
  • Java 示例:
class Solution 
    public int threeSumClosest(int[] nums, int target) 
        Arrays.sort(nums);
        int result = nums[0] + nums[1] + nums[2];
        for(int i=0;i<nums.length-2;i++)
            int left = i+1;
            int right = nums.length - 1;
            while(left != right)
                int sum = nums[i] + nums[left] + nums[right];
                if(Math.abs(sum - target) < Math.abs(result - target))
                    result = sum;
                if(sum > target)
                    right--;
                
                else
                    left++;
                
            
        
        return result;
    

② 双指针法的优化

  • 元素重复的问题:
    • 举个例子,nums = [1,1,1,2,3] target = 7,那么最终的结果应该是 6 (1 + 2 + 3)。
    • 但是按照上面的代码,在遍历的时候 nums[i]会重复的等于 1 这个数,但是其实之前 nums[i] 等于 1 已经遍历过了,后面的遍历都属于无用的遍历。
    • 所以可以添加去重的操作。
    • Java 示例:
class Solution 
    public int threeSumClosest(int[] nums, int target) 
        Arrays.sort(nums);
        int result = nums[0] + nums[1] + nums[2];
        for(int i=0;i<nums.length-2;i++)
            int left = i+1;
            int right = nums.length - 1;
            while(left != right)
                int sum = nums[i] + nums[left] + nums[right];
                if(Math.abs(sum - target) < Math.abs(result - target))
                    result = sum;
                if(sum > target)
                    right--;
                    // 解决nums[right]重复
                    while(left != right && nums[right] == nums[right+1])
                        right--;
                
                else
                    left++;
                    // 解决nums[left]重复
                    while(left != right && nums[left] == nums[left-1])
                        left++;
                
            
            // 解决nums[i]重复
            while(i<nums.length-2 && nums[i] == nums[i+1])
                i++;
        
        return result;
    

  • 超越界限的问题:
    • 举个例子,nums = [-3,-1,3,4,5]。
    • 假设 i = 0,left = 1,right = 4,那么每次 left 和 right 之间都有许多元素,那么 left 和 right 之间的元素之和肯定也有一个最小值和一个最大值。
    • 就如同 left = 1,right = 4,那么移动指针的情况下,nums[left] + nums[right] 的最小值肯定为 nums[left] + nums[left + 1],因为这两个元素是 left 和 right 范围内能取到的最小的两个元素,同理可证最大值。
    • 如果 target 的值比 nums[i] + nums[left] + nums[left + 1] 的值还小,那么双指针无论怎么取,最后都会取到 nums[i] + nums[left] + nums[left + 1]。
    • 同理可证 target 的值比nums[i] + nums[right] + nums[right - 1] 的值还大的情况。
    • 所以可以增加一个判断,满足条件的情况下就可以直接取值,而不需要双指针一步步的判断来进行取值,减少了双指针的移动。
    • Java 示例:
class Solution 
    public int threeSumClosest(int[] nums, int target) 
        Arrays.sort(nums);
        int result = nums[0] + nums[1] + nums[2];
        for(int i=0;i<nums.length-2;i++)
            int left = i+1;
            int right = nums.length - 1;
            while(left != right)
                // 判断最小值
                int min = nums[i] + nums[left] + nums[left + 1];
                if(target < min)
                    if(Math.abs(result - target) > Math.abs(min - target))
                        result = min;
                    break;
                
                //判断最大值
                int max = nums[i] + nums[right] + nums[right - 1];
                if(target > max)
                    if(Math.abs(result - target) > Math.abs(max - target))
                        result = max;
                    break;  
                
                int sum = nums[i] + nums[left] + nums[right];
                if(Math.abs(sum - target) < Math.abs(result - target))
                    result = sum;
                if(sum > target)
                    right--;
                    while(left != right && nums[right] == nums[right+1])
                        right--;
                
                else
                    left++;
                    while(left != right && nums[left] == nums[left-1])
                        left++;
                
            
            while(i<nums.length-2 && nums[i] == nums[i+1])
                i++;
        
        return result;
    

③ 排序 + 双指针

  • 题目要求找到与目标值 target 最接近的三元组,这里的「最接近」即为差值的绝对值最小。我们可以考虑直接使用三重循环枚举三元组,找出与目标值最接近的作为答案,时间复杂度为 O(N3)。然而本题的 N 最大为 1000,会超出时间限制。
  • 那么如何进行优化呢?我们首先考虑枚举第一个元素 a,对于剩下的两个元素 b 和 c,我们希望它们的和最接近 target−a。对于 b 和 c,如果它们在原数组中枚举的范围(既包括下标的范围,也包括元素值的范围)没有任何规律可言,那么我们还是只能使用两重循环来枚举所有的可能情况。因此,我们可以考虑对整个数组进行升序排序,这样一来:
    • 假设数组的长度为 n,先枚举 a,它在数组中的位置为 i;
    • 为了防止重复枚举,在位置 [i+1,n) 的范围内枚举 b 和 c。
  • 当我们知道了 b 和 c 可以枚举的下标范围,并且知道这一范围对应的数组元素是有序(升序)的,那么我们是否可以对枚举的过程进行优化呢?
  • 答案是可以的,借助双指针,就可以对枚举的过程进行优化,用 pb 和 pc 分别表示指向 b 和 c 的指针,初始时,pb 指向位置 i+1,即左边界;pc 指向位置 n−1,即右边界。在每一步枚举的过程中,用 a+b+c 来更新答案,并且:
    • 如果 a+b+c≥target,那么就将 pc 向左移动一个位置;
    • 如果 a+b+c<target,那么就将 pb 向右移动一个位置。
  • 这是为什么呢?我们对 a+b+c≥target 的情况进行一个详细的分析:
    • 如果 a+b+c≥target,并且我们知道 pb 到 pc 这个范围内的所有数是按照升序排序的,那么如果 pc 不变而 pb 向右移动,那么 a+b+c 的值就会不断地增加,显然就不会成为最接近 target 的值了。
    • 因此,我们可以知道在固定了 pc 的情况下,此时的 pb 就可以得到一个最接近 target 的值,那么以后就不用再考虑 pc了,就可以将 pc 向左移动一个位置。
  • 同样地,在 a+b+c<target 时:
    • 如果 a+b+c<target,并且知道 pb 到 pc 这个范围内的所有数是按照升序排序的,那么如果 pb 不变而 pc 向左移动,那么 a+b+c 的值就会不断地减小,显然就不会成为最接近 target 的值了。因此,可以知道在固定了 pb 的情况下,此时的 pc 就可以得到一个最接近 target 的值,那么以后就不用再考虑 pb 了,就可以将 pb 向右移动一个位置。
  • 实际上,pb 和 pc 就表示了我们当前可以选择的数的范围,而每一次枚举的过程中,我们尝试边界上的两个元素,根据它们与 target 的值的关系,选择「抛弃」左边界的元素还是右边界的元素,从而减少了枚举的范围。
  • C++ 示例:
class Solution 
public:
    int threeSumClosest(vector<int>& nums, int target) 
        sort(nums.begin(), nums.end());
        int n = nums.size();
        int best = 1e7;

        // 根据差值的绝对值来更新答案
        auto update = [&](int cur) 
            if (abs(cur - target) < abs(best - target)) 
                best = cur;
            
        ;

        // 枚举 a
        for (int i = 0; i < n; ++i) 
            // 保证和上一次枚举的元素不相等
            if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1]) 
                continue;
            
            // 使用双指针枚举 b 和 c
            int j = i + 1, k = n - 1;
            while (j < k) 
                int sum = nums[i] + nums[j] + nums[k];
                // 如果和为 target 直接返回答案
                if (sum == target) 
                    return target;
                
                update(sum);
                if (sum > target) 
                    // 如果和大于 target,移动 c 对应的指针
                    int k0 = k - 1;
                    // 移动到下一个不相等的元素
                    while (j < k0 && nums[k0] == nums[k]) 
                        --k0;
                    
                    k = k0;
                 else 
                    // 如果和小于 target,移动 b 对应的指针
                    int j0 = j + 1;
                    // 移动到下一个不相等的元素
                    while (j0 < k && nums[j0] == nums[j]) 
                        ++j0;
                    
                    j = j0;
                
            
        
        return best;
    
;
  • Java 示例:
class Solution 
    public int threeSumClosest(int[] nums, int target) 
        Arrays.sort(nums);
        int n = nums.length;
        int best = 10000000;

        // 枚举 a
        for (int i = 0; i < n; ++i) 
            // 保证和上一次枚举的元素不相等
            if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1]) 
                continue;
            
            // 使用双指针枚举 b 和 c
            int j = i + 1, k = n - 1;
            while (j < k) 
                int sum = nums[i] + nums[j] + nums[k];
                // 如果和为 target 直接返回答案
                if (sum == target) 
                    return target;
                
                // 根据差值的绝对值来更新答案
                if (Math.abs(sum - target) < Math.abs(best - target)) 
                    best = sum;
                
                if (sum > target) 
                    // 如果和大于 target,移动 c 对应的指针
                    int k0 = k - 1;
                    // 移动到下一个不相等的元素
                    while (j < k0 && nums[k0] == nums[k]) 
                        --k0;
                    
                    k = k0;
                 else 
                    // 如果和小于 target,移动 b 对应的指针
                    int j0 = j + 1;
                    // 移动到下一个不相等的元素
                    while (j0 < k && nums[j0] == nums[j]) 
                        ++j0;
                    
                    j = j0;
                
            
        
        return best;
    

以上是关于数据结构与算法之深入解析“最接近的三数之和”的求解思路与算法示例的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

打卡算法 16最接近的三数之和 算法解析

16. 最接近的三数之和

思维导图整理大厂面试高频数组补充1: 最接近的三数之和 和 三数之和 的两个不同之处, 力扣16

思维导图整理大厂面试高频数组补充1: 最接近的三数之和 和 三数之和 的两个不同之处, 力扣16

思维导图整理大厂面试高频数组补充1: 最接近的三数之和 和 三数之和 的两个不同之处, 力扣16

算法--最接近的三数之和(MR)