LuoguP2792 [JSOI2008]小店购物(最小树形图)

Posted 2021-02-11 NeosKnight

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题目描述

小店的优惠方案十分简单有趣：

一次消费过程中，如您在本店购买了精制油的话，您购买香皂时就可以享受2.00元/块的优惠价；如果您在本店购买了香皂的话，您购买可乐时就可以享受1.50元/听的优惠价......诸如此类的优惠方案可概括为：如果您在本店购买了商品A的话，您就可以以P元/件的优惠价格购买商品B（购买的数量不限）。

有趣的是，你需要购买同样一些商品，由于不同的买卖顺序，老板可能会叫你付不同数量的钱。比如你需要一块香皂（原价2.50元）、一瓶精制油（原价10.00元）、一听可乐（原价1.80元），如果你按照可乐、精制油、香皂这样的顺序购买的话，老板会问你要13.80元；而如果你按照精制油、香皂、可乐这样的顺序购买的话，您只需付13.50元。

该处居民发现JSOI集训队的队员均擅长电脑程序设计，于是他们请集训队的队员编写一个程序：在告诉你该小店商品的原价，所有优惠方案及所需的商品后，计算至少需要花多少钱（不允许购买任何不必要的商品，即使这样做可能使花的钱更少）。

Sol

首先不用买的全部丢掉 , 优惠活动也不用管。
考虑一个最优策略 , 显然我们不会蠢到白白的优惠不要 , 那么一定是先所有要买的物品都买一个 , 然后就能取得所有优惠。直接取最小值当做价格即可。

那么问题就是让所有物品买一次后总价格最小。
这就很像一个生成树了。
由于有些物品可能没有优惠 , 我们建立一个超级点 , 向所有其他物品连原价的边 , 相当于买了超级点其他物品都能以原价的优惠购买。
这样就是要求一个以超级点为根的最小树形图了 , 朱刘算法即可。

简单说明朱刘算法的求解步骤:

首先要明确的一点是每一个点只会有一条入边。

1. 为所有点找到一个最小的入边。
2. 把这些边的权值加入答案 , 然后判断图中是否存在环。
3. 不存在环那么算法结束 , 否则缩环(直接往入边方向跳即可,不要tarjan) , 并把所有不在环内边的边的权值减去指向点的最小入边(之前的环不合法 , 其中要去掉一条边 , 这里减去原入边边权就是在之后选择新的边的时候考虑了这个权值的变化)

本题code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef double db;
const int M=6000;
const int N=51;
struct edge{
    int u,v;db val;
    edge(){u=v=0,val=0.0;}
    edge(int a,int b,db c){u=a,v=b,val=c;}
}a[M],b[M];
int In[N],vis[N],bel[N],cnt=0,m,n,bcc;
db cost[N];int ned[N];
db Mi[N];
int rt;db ans=0;
int flag=0;
bool MST(){
    for(int i=1;i<=n;++i) In[i]=vis[i]=bel[i]=0;bcc=0,cnt=0;
    for(int i=1;i<=m;++i) {
        int u=a[i].u,v=a[i].v;db w=a[i].val;
        if(!In[v]||a[In[v]].val>w) In[v]=i;
    }
    for(int i=flag;i<=n;++i) {
        if(!flag&&!ned[i]) continue;
        if(i!=rt) ans+=a[In[i]].val;
        if(vis[i]) continue;
        int u=i;
        for(;u^rt&&vis[u]!=i&&!bel[u];u=a[In[u]].u) vis[u]=i;
        if(u^rt&&!bel[u]) {
            ++bcc;while(bel[u]!=bcc) bel[u]=bcc,u=a[In[u]].u;
        }
    }
    if(!bcc) return 0;
    for(int i=flag;i<=n;++i) {
        if(!flag&&!ned[i]&&i!=rt) continue;
        if(!bel[i]) bel[i]=++bcc;
    }
    for(int i=1;i<=m;++i) {
        int u=a[i].u,v=a[i].v;db w=a[i].val;
        if(bel[u]==bel[v]) continue;
        db goi=a[In[v]].val;b[++cnt]=(edge){bel[u],bel[v],w-goi};
    }
    for(int i=1;i<=cnt;++i) a[i]=b[i];
    n=bcc;m=cnt;
    return 1;
}
int main()
{
    cin>>n;int tot=n;// !! 注意记录啊
    for(int i=1;i<=n;++i) cin>>cost[i]>>ned[i],Mi[i]=cost[i];
    cin>>m;
    for(int i=1;i<=m;++i) {
        int A,B;db P;
        cin>>A>>B>>P;
        if(!ned[A]||!ned[B]) --i,--m;
        else {Mi[B]=min(Mi[B],P);a[i]=edge(A,B,P);}
    }
    for(int i=1;i<=n;++i) if(ned[i]) a[++m]=edge(0,i,cost[i]);
    rt=0;flag=0;
    while(MST()) rt=bel[rt],flag=1;
    for(int i=1;i<=tot;++i) {
        if(ned[i]) {
            --ned[i];
            ans+=Mi[i]*(db)ned[i];
        }
    }
    printf("%.2lf
",ans);
}