LUOGU 2792: [JSOI2008]小店购物 最小树形图

Posted 2020-11-11 g-hsm

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LUOGU 2792

简化题意：

若干件物品，每个物品有一个原价，购买某件物品后可以以更优价购买另一件物品。每件物品有一个需求数目，既不能多买，也不能少买（如果需求 0 件就不能买，哪怕可能使得总价最优）。

analysis

这题有一个很棒的贪心算法，对于某件物品，我们怎样使得购买它的代价最小呢？

我们可以贪心的在这件物品所有的可行方案（原价与优惠价）里面取最小的，做一次乘法运算即可得出答案。

关键是，怎样使得这个贪心是正确的呢？我们发现，假如所有物品都被购买了的话，那么就可以保证这个贪心是正确的。

那么我们就可以把这个问题分成两个问题：

1. 求出每个物品都买一件的最小代价和；

2. 所有物品都购买了一件后，我们贪心算出剩余物品的代价和；

那么问题 1 怎么解决？

首先，我们对于每一个优惠方案 \((a,b,p)\)，

• 如果物品 \(a\) 不需要：那么我们从 \(a\) 到连 \(b\) 一条权值为 \(inf\) 的边。道理很好想，既然物品 \(a\) 不能选择，那么选择物品 \(a\) 的优惠方案肯定都是非法的，把权值设为 \(inf\) 就保证这个方案不会被选到；
• 如果物品 \(b\) 不需要：那么我们从aa到 \(b\) 连一条权值为 \(0\) 的边。既然物品 \(b\) 不需要，我们可以看做购买物品 \(b\) 不需要任何代价；
• 如果都需要，那就正常的从 \(a\) 到 \(b\) 连一条权值为 \(p\) 的边。

这样我们就处理完了优惠方案。

对于原价，我们新建一个虚拟节点，并从这个虚拟节点往所有点连一条边，如果需要，权值为这个物品的原价，否则为 \(0\) 。

这样原图就是一个以虚拟节点为根的有向图，然后我们发现这个问题有几条优美的性质：

1. 有向图有根节点；
2. 所有点都要被选到；
3. 边权之和最小；

所以，就是最小树形图了，跑一遍就好了。

code

#include<bits/stdc++.h>

const int maxn=64,maxm=maxn*maxn;
const double inf=1e9;

namespace IO
{
    char buf[1<<15],*fs,*ft;
    inline char getc() { return (ft==fs&&(ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin),ft==fs))?0:*fs++; }
    template<typename T>inline void read(T &x)
    {
        x=0;
        T f=1, ch=getchar();
        while (!isdigit(ch) && ch^'-') ch=getchar();
        if (ch=='-') f=-1, ch=getchar();
        while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48), ch=getchar();
        x*=f;
    }
}

using IO::read;

template<typename T>inline bool chkMin(T &a,const T &b) { return a>b ? (a=b, true) : false; }
template<typename T>inline bool chkMax(T &a,const T &b) { return a<b ? (a=b, true) : false; }

int n,m,r;
double ans;
struct Orz{int x,y; double z;}e[maxm];
namespace Edmonds
{
    int pre[maxn];//fa[y] 当前连到 y 点的最短边的 x
    double In[maxn];//In[x] 为当前连到 x 点的最短边的边权
    int vis[maxn];//vis[x] 代表 x 所在链的代表元素，类似并查集
    int id[maxn];//id[x] 代表 x 节点在第 id[x] 个环中
    inline void zhu_liu()
    {
        while (1)
        {
            for (int i=1; i<=n; ++i) In[i]=inf;
            for (int i=1,x,y; i<=m; ++i)
            {
                x=e[i].x, y=e[i].y;
                if (x^y && e[i].z<In[y]) pre[y]=x, In[y]=e[i].z;//遍历所有边，对每个点找到最小的入边
            }

            int cnt=0;//cnt 代表当前图环的数量
            for (int i=1; i<=n; ++i) vis[i]=id[i]=0;
            for (int i=1; i<=n; ++i)
            {
                if (i==r) continue;
                ans+=In[i];
                int x=i;
                for ( ; x^r && vis[x]^i && !id[x]; x=pre[x]) vis[x]=i;//找环
                if (x^r && !id[x])
                {
                    id[x]=++cnt;//把环上的点标记为同一点
                    for (int y=pre[x]; y^x; y=pre[y]) id[y]=cnt;
                }
            }
            if (!cnt) break;//无环，得到解
            for (int i=1; i<=n; ++i)
                if (!id[i]) id[i]=++cnt;

            for (int i=1,x,y; i<=m; ++i)//建立新图，缩点，重新标记
            {
                x=e[i].x, y=e[i].y;
                if ( (e[i].x=id[x])^(e[i].y=id[y]) ) e[i].z-=In[y];//修改边权
            }
            n=cnt,r=id[r];
        }
    }
}

using Edmonds::zhu_liu;

double c[maxn];
int need[maxn],tot;
int main()
{
    read(n);
    for (int i=1; i<=n; ++i)
    {
        scanf("%lf",&c[i]), read(need[i]);
        e[++tot]=(Orz){n+1,i,!need[i] ? 0 : c[i]};
    }

    read(m);
    for (int i=1,a,b; i<=m; ++i)
    {
        read(a);read(b);
        double p;scanf("%lf",&p);
        if (!need[a]) e[++tot]=(Orz){a,b,inf};
        else if (!need[b]) e[++tot]=(Orz){a,b,0};
        else chkMin(c[b],p), e[++tot]=(Orz){a,b,p};
    }

    for (int i=1; i<=n; ++i) ans+=(need[i]-1)*c[i];
    r=n+1, m+=n, ++n;
    zhu_liu();
    printf("%.2lf\n",ans);
    return 0;
}