牛顿迭代法的牛顿迭代公式

Posted 2023-04-15

设r是的根，选取作为r的初始近似值，过点做曲线的切线L，L的方程为，求出L与x轴交点的横坐标，称x1为r的一次近似值。过点做曲线的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标，称为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中，称为r的次近似值，上式称为牛顿迭代公式。
用牛顿迭代法解非线性方程，是把非线性方程线性化的一种近似方法。把在点的某邻域内展开成泰勒级数，取其线性部分（即泰勒展开的前两项），并令其等于0，即，以此作为非线性方程的近似方程，若，则其解为， 这样，得到牛顿迭代法的一个迭代关系式：。
已经证明，如果是连续的，并且待求的零点是孤立的，那么在零点周围存在一个区域，只要初始值位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。 并且，如果不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。
军人在进攻时常采用交替掩护进攻的方式，若在数轴上的点表示A，B两人的位置，规定在前面的数大于后面的数，则是A>B，B>A交替出现。但现在假设军中有一个胆小鬼，同时大家又都很照顾他，每次冲锋都是让他跟在后面，每当前面的人占据一个新的位置，就把位置交给他，然后其他人再往前占领新的位置。也就是A始终在B的前面，A向前迈进，B跟上，A把自己的位置交给B（即执行B = A），然后A 再前进占领新的位置，B再跟上，直到占领所有的阵地，前进结束。像这种两个数一前一后逐步向某个位置逼近的方法称为迭代法。
迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。
利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：
一、确定迭代变量
在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个可直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。
二、建立迭代关系式
所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。
三、对迭代过程进行控制
在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析得出可用来结束迭代过程的条件。

参考技术A 牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

牛顿迭代法求解平方根

牛顿迭代法求解平方根

2015-05-16 10:30 2492人阅读 评论(1) 收藏 举报

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目录(?)[+]

 

 

• 一个实例
• 迭代简介
• 牛顿迭代法
  • 牛顿迭代法简介
  • 简单推导
  • 泰勒公式推导
  • 延伸与应用

 

一个实例

//java实现的sqrt类和方法
public class sqrt {
    public static double sqrt(double n)
    {
        if (n<0) return Double.NaN;
        double err = 1e-15;
        double t = n;
        while (Math.abs(t - n/t) > err*t)
            t = (n/t + t)/2;
        return t;
    }
    public static void main(String[] args)
    {
        sqrt a  = new sqrt();
        System.out.println(a.sqrt(2));
    }
}
//2的平方根的求解结果
>>1.414213562373095

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迭代简介

迭代，是一种数值方法，具体指从一个初始值，一步步地通过迭代过程，逐步逼近真实值的方法。 
与之相对的是直接法，也就是通过构建解析解，一步求出问题的方法。

通常情况下，我们总是喜欢一步得到问题的结果，因此直接法总是优先考虑的。 
但是，当遇到复杂的问题时，特别在未知量很多，方程非线性时，无法得到直接解法（例如五次方程并没有解析解）。 
这时候，我们需要使用迭代算法，一步步逼近，得到问题的答案。

迭代算法，通常需要考虑如下问题： 
- 确定迭代变量 
- 确定迭代关系式 
- 确定迭代终止条件

牛顿迭代法

牛顿迭代法简介

牛顿迭代法，求解如下问题的根x

 

f(x)=0

 

求解方法如下：

 

xn+1=xn?f(xn)f′(xn)

 

方法中，迭代变量是根x，迭代关系式如上，迭代终止条件是|f(xn)?0|<error。

牛顿迭代法需要满足的条件是： 
f′(x)是连续的，并且待求的零点x是孤立的。 
那么，在零点x周围存在一个区域，只要初始值x0位于这个邻域内，那么牛顿法必然收敛。 
并且，如果f′(x)不为0，那么牛顿法将具有平方收敛的特性，也就是，每迭代一次，其结果的有效倍数将增加一倍。

简单推导

由 

f′(xn)=dydx=f(xn)xn?xn+1

 

有 

xn+1=xn?f(xn)f′(xn)

 

对于平方根问题，假设f(x)=x2?n，代入上式，有 

xn+1=12(xn+nxn)

 

其图像含义是：通过对接近零点的领域点做切线，不断逼近零点，最终十分靠近零点。

泰勒公式推导

上面的式子，同样，可以用泰勒公式推导出来。 

f(xn+?)=f(xn)+f′(xn)?+12f′′(x)?2+...

只取等号右边的前两项，有 

?=f(xn+?)?f(xn)f′(xn)

两边同时加上xn，有 

xn+1=xn+?=xn+f(xn+?)?f(xn)f′(xn)=xn+f(xn+1)?f(xn)f′(xn)

最终，f(xn+1=0)，假设f(x)=x2?n，上式同样可以化成 

xn+1=12(xn+nxn)

 

本质上，牛顿迭代法就是利用了泰勒公式的前两项和，是泰勒公式的简化。

延伸与应用

同样的，牛顿迭代法同样可以求n次方根，对于f(x)=xm?n 
有 

xn+1=xn?xnm(1?axn?m)