luogu 4208 [JSOI2008]最小生成树计数

Posted 2020-11-13 夜深风竹敲秋韵

题目描述

现在给出了一个简单无向加权图。你不满足于求出这个图的最小生成树，而希望知道这个图中有多少个不同的最小生成树。（如果两颗最小生成树中至少有一条边不同，则这两个最小生成树就是不同的）。由于不同的最小生成树可能很多，所以你只需要输出方案数对31011的模就可以了。

输入格式

第一行包含两个数，n和m，其中1<=n<=100; 1<=m<=1000; 表示该无向图的节点数和边数。每个节点用1~n的整数编号。

接下来的m行，每行包含两个整数：a, b, c，表示节点a, b之间的边的权值为c，其中1<=c<=1,000,000,000。

数据保证不会出现自回边和重边。注意：具有相同权值的边不会超过10条。

输出格式

输出不同的最小生成树有多少个。你只需要输出数量对31011的模就可以了。

输入输出样例

输入 #1复制

4 6
1 2 1
1 3 1
1 4 1
2 3 2
2 4 1
3 4 1

输出 #1复制

8

说明/提示

说明 1<=n<=100; 1<=m<=1000;1≤ci?≤10⁹

分析

很妙的一道暴搜（？）题

是的，暴搜，真是一个优秀的算法

正解什么矩阵树，高斯消元啥的

我暴搜流派就是流弊

先放几个写得不错的题解：

题解1hzwer大佬

题解2luogu题解

题解3神奇的证明

怎么搜，首先一个结论：

对于最小生成树的一个替代边，必有替代边等于最小生成树中的一边，并与这一边连接了同两个连通块

所以，对于最小生成树的不同方案，相同长度的边的个数是一样的

我们可以对相同长度的边进行暴搜（选/不选），最后判断是否与最小生成树中的个数相同来判断是否合法‘’

用乘法原理，将各个不同长度的边的方案相乘，的到最终方案数

为你，所向披靡！