Bzoj4481 [Jsoi2015]非诚勿扰

Posted 2020-09-21 SilverNebula

Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 512 MB
Submit: 147  Solved: 75

Description

【故事背景】
JYY赶上了互联网创业的大潮，为非常勿扰开发了最新的手机App实现单身大龄青年之间的“速配”。然而随着用户数量的增长，JYY发现现有速配的算法似乎很难满足大家的要求，因此JYY决定请你来调查一下其中的原因。
【问题描述】
应用的后台一共有N个女性和M个男性，他们每个人都希望能够找到自己的合适伴侣。为了方便，每个男性都被编上了1到N之间的一个号码，并且任意两个人的号码不一样。每个女性也被如此编号。

JYY应用的最大特点是赋予女性较高的选择权，让每个女性指定自己的“如意郎君列表”。每个女性的如意郎君列表都是所有男性的一个子集，并且可能为空。如果列表非空，她们会在其中选择一个男性作为自己最终接受的对象。
JYY用如下算法来为每个女性速配最终接受的男性：将“如意郎君列表”中的男性按照编号从小到大的顺序呈现给她。对于每次呈现，她将独立地以P的概率接受这个男性（换言之，会以1−P的概率拒绝这个男性）。如果她选择了拒绝，App就会呈现列表中下一个男性，以此类推。如果列表中所有的男性都已经呈现，那么中介所会重新按照列表的顺序来呈现这些男性，直到她接受了某个男性为止。
显然，在这种规则下，每个女性只能选择接受一个男性，而一个男性可能被多个女性所接受。当然，也可能有部分男性不被任何一个女性接受。这样，每个女性就有了自己接受的男性（“如意郎君列表”为空的除外）。现在考虑任意两个不同的、如意郎君列表非空的女性a和b，如果a的编号比b的编号小，而a选择的男性的编号比b选择的编号大，那么女性a和女性b就叫做一对不稳定因素。
由于每个女性选择的男性是有一定的随机性的，所以不稳定因素的数目也是有一定随机性的。JYY希望你能够求得不稳定因素的期望个数（即平均数目），从而进一步研究为什么速配算法不能满足大家的需求。

Input

输入第一行包含2个自然数N,M，表示有N个女性和N个男性，以及所有女
性的“如意郎君列表”长度之和是M。
接下来一行一个实数P，为女性接受男性的概率。
接下来M行，每行包含两个整数a,b，表示男性b在女性a的“如意郎君列表”
中。
输入保证每个女性的“如意郎君列表”中的男性出现切仅出现一次。
1≤N,M≤500,000，0.4≤P<0.6

Output

输出1行，包含一个实数，四舍五入后保留到小数点后2位，表示不稳定因素的期望数目。

Sample Input

5 5
0.5
5 1
3 2
2 2
2 1
3 1

Sample Output

0.89

HINT

Source

By 佚名上传

 

数学问题 期望 脑洞题

期望还能这么玩儿，真的神奇。

 

女方如果选中某个人，可能是第一轮选中的，也可能是第一轮没选人，在第二轮选中的，也可能在第三轮，第四轮……

看上去是个无限项的等比数列求和。

利用等比数列公式计算女方选某个人的概率：

　　$ \frac{a_1*(1-p^n)}{1-p}$

在n无穷大的时候$ p^n $趋近于0，可以直接忽视掉。

这样就可以算出这个位置被选的概率。

这样，之后开始选择的女方如果选了某个更靠前位置，就多了这么些概率贡献一个逆序对。

将边按双关键字排序，用树状数组维护一个类似逆序对的东西即可。

数据卡精度，需要long double

 1 /*by SilverN*/
 2 #include<iostream>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstdio>
 5 #include<cmath>
 6 #include<cstring>
 7 using namespace std;
 8 const int mxn=500010;
 9 int read(){
10     int x=0,f=1;char ch=getchar();
11     while(ch<‘0‘ || ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
12     while(ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}
13     return x*f;
14 }
15 struct edge{
16     int x,y;
17     bool operator < (const edge &b)const{
18         return ((x==b.x && y<b.y) || x<b.x);
19     }
20 }a[mxn],c[mxn];
21 //
22 int n,m;
23 int len[mxn];
24 long double P,pr[mxn];
25 long double t[mxn];
26 void add(int x,double v){while(x<=n){t[x]+=v;x+=x&-x;}}
27 long double ask(int x){double res=0.0;while(x){res+=t[x];x-=x&-x;}return res;};
28 inline long double GetP(int x,int y){return P*pr[y-1]/(1-pr[len[x]]);}
29 int main(){
30 //    freopen("in.txt","r",stdin);
31     n=read();m=read();scanf("%Lf",&P);
32     pr[0]=1.0;
33     for(int i=1;i<=m;i++){pr[i]=pr[i-1]*(1-P);}
34     for(int i=1;i<=m;i++){
35         a[i].x=read();a[i].y=read();len[a[i].x]++;
36     }
37     sort(a+1,a+m+1);
38     long double ans=0.0;
39     int hd=1;
40     for(int i=1;i<=n;i++){//枚举左边
41         if(a[hd].x!=i)continue;
42         int cnt=0;
43         while(a[hd].x==i){
44             ++cnt;
45             add(a[hd].y,GetP(i,cnt));
46             ans+=GetP(i,cnt)*(ask(n)-ask(a[hd].y));
47             hd++;
48         }
49     }
50     printf("%.2f\n",(double)ans);
51     return 0;
52 }