C++内点法求解大规模线性规划问题——对标MATLAB中linprog函数

Posted 2023-01-24 Z.Q.Feng

C++内点法求解大规模线性规划问题——对标MATLAB中linprog函数

文章目录

• C++内点法求解大规模线性规划问题——对标MATLAB中linprog函数
• • 1. 项目场景
  • 2. 约束的规范化
  • 3. 输入格式
  • 4. 如何构建模型
  • 5. 如何使用

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项目资源链接如下：https://download.csdn.net/download/weixin_46584887/86406561

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1. 项目场景

对于如下大规模线性规划问题：

$$\begin{array}{rl}\min & c_1{x}_1+c_2{x}_2+\cdots +c_n{x}_n\\ \text{s.t.}& a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ & a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ & \dots \\ & a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m\\ & x_1,x_2,\dots ,x_n\ge 0\end{array}$$

或者写成如下形式：

$$\min \mathbf{cx}\text{s.t.}\begin{array}{l}\mathbf{Ax}=\mathbf{b}\\ \mathbf{x}\succcurlyeq 0\end{array}$$

并且 $\mathbf{A}\in {\mathbf{R}}_{\mathbf{m}\times \mathbf{n}},\mathbf{x}\in {\mathbf{R}}_{\mathbf{n}\times 1},\mathbf{b}\in {\mathbf{R}}_{\mathbf{m}\times 1}$.

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2. 约束的规范化

• 对于缺乏非负约束的变量 $x_i$，我们做出如下转化 ：

  • $x_i=x_{i1}-x_{i2}$

  • $x_{i1}\ge 0,x_{i2}\ge 0$

• 对于不等式约束，我们也需要将其松弛为等式约束:

  • ${\sum }_{j=0}^n{a}_{ij}{x}_j\le b_i$ 或者 ${\sum }_{j=0}^n{a}_{ij}{x}_j\ge b_i$

  • $x_{n+i}\pm {\sum }_{j=0}^n{a}_{ij}{x}_j=b_i,x_{n+i}\ge 0$

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3. 输入格式

代码从文本文件中读取数据(data.txt):

• 该文本文件的第一行包含两个整数, m and n, 分别代表约束个数与变量个数
• 第二行的 n 个元素代表目标函数中变量前的系数 $c_i$
• 接下来 m 行每行包括 n + 1 个元素, 每行的前 n 个元素代表变量前的系数 $a_{ij}$,，最后一个元素代表 $b_i$

举个例子，对于如下线性规划问题:

max ⁡ 5 x 1 + 10 x 2 s.t. 8 x 1 + 8 x 2 ≤ 160