分治法之快排&随机化

Posted 2022-12-03 吴豪杰

0. 快速排序

由Tony Hoare在1962年发明，这是一个分治算法，它就在原地完成排序，类似与插入排序。
优点：节约内存资源，非常实用，线性复杂度

1. 分治策略

1.1 分

快速排序通过选取一个关键数据，再根据它的大小，把原数组分为两个子数组，第一个数组里面的元数据都比第二个数组里的元素大或者相等。

1.2 治

对两个子数组进行递归排序。

1.3 合

最后得到的数组便是排好序的数组。

快速排序关键的一步就是 分 ，即递归地划分数组，而归并排序就可以说是递归地合并数组。

2. 分析

伪代码如下所示:

/* 划分 */
Partition(A, p, q)  // A[p...q]
x <- A[p]           // 需要作比较的数，哨兵
i <- p
for j <- p+1 to q
    do if A[j] <= x
        then i <- i+1
           exch A[i] <-> A[j]
exch A[p] <-> A[i]
return i

/* 快速排序 */
QuitSort(A, p, q)
if(p<q)
    then r <- Partition(A, p, q)
        QuickSort(A, p, r)
        QuickSort(A, r, q)


/* 初始调用 */
Init call:
QuickSort(A, 1, n)

2.1 思路

以j为循环变量，从p+1开始遍历，对于每一个元素，都与x进行比较：

• 若大于等于x，则不管，直接继续
• 若小于x，i的位置向前移动一位，这时候再将i位置的值与j位置的值进行交换
  循环结束后，将哨兵的值放回到i循环结束后的位置上

2.2 效率分析

• 最坏情况: 已经排好序或者排成逆序，此时不如插入排序算法
  T(n) = Θ(n^2)
• 最优情况: 划分正好处在正中央
  T(n) = Θ(n lgn)
  

  当划分为1:9时，经验证同为最优情况

3. 示例

对 6、10、13、5、8、3、2、11 进行快速排序划分:

• 第一步，i指向6，j指向10，哨兵赋值为6
  

• 第二步，j向前移动，寻找比哨兵值6小的元素
  

• 第三步，交换i+1与j值
  

• 重复第二步、第三步
  
  

• 最后一步，交换哨兵与i所在位置
  

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4. 随机化快排

简单说就是在排序前将数据进行随机化，它具有一下优点:

• 运行时间不依赖于输入的序列顺序
• 无需对输入序列的分布做出任何假设
• 没有一种特定的输入引起最差的情况
• 最差的情况由随机数生成器产生