快速幂(快速幂取余)

Posted 2022-05-12 爱敲代码的三毛

引入公式

(a*b) %c = ((a % c)*(b % c)) %c

普通求幂的解法

	public static int pow(int x,int n) 
        int result = 1;
        for (int i = 0; i < n; i++) 
            result = result * x;
        

        return result;
    

这种写法的时间复杂度为 O(n)，使用快速幂就能将时间复杂度降到O(log₂n)

概念

顾名思义，快速幂就是一种快速计算底数的n次幂，它的时间复杂度可以达到O(log₂N)，和普通的相乘法效率有了非常大的提升

比如我们要算 2的 10 次方，怎么算才快？

1. 最直观的方法就是 2*2=4，4*2=8，8*2=16 … 一直乘到第十个2，一共进行了9次相乘
   于是出了如下代码

2. 先算 2的5次方再算2的5次方的平方，(2⁵)²，一共进行了 5次相乘

3. 先算 2*2=4，再计算 2的5次方 4*4*2，再计算2的五次方的平方，(((2²)²)*2)²，一共进行了4次乘法

引入二进制

快速幂通过二进制的位运算来理解
求 xⁿ，比如求 2¹⁰
如果把10变成二进制，那么就是 1010，于是就可以写出下面的式子
0*2⁰ + 1*2² + 0*2² + 1*2³

最后得出下面的式子

2^(0*2 ⁰ + 1*2² + 0*2² + 1*2³ )

通过化简得到

2^(2^1) * 2^(2^3)

也就是二进制为上为0的数被忽略了

那么我们在求 2¹⁰的时候，就可以利用上面的解法

• 在计算的时候不断获取指数的每一个二进制位
• 如果二进制位为0，说明这一位无效，就把二进制位累成就好了
• 如果二进制位位1说明是有效数字，把累乘的结果和最后的结果相乘

实现代码

public static int pow(int x,int n) 
        int result = 1; //结果
        int index = x; //二进制位
        while (n != 0) 
            // 若果最后一位二进制为1说明是有效位
            // 把累乘的结果乘到结果中去
            if ((n&1) == 1) 
                result *= index;
            
            index *= index;
            n>>=1;
        

        return result;
    

n =10,二进制表示就是 1010

1. 首先从第一个二进制位开始，1010 第一个二进制是0，所以这一位不要，所以结果还是1，index变成 2²
2. 101最后一位是1，这个2²这一位是要的，把它乘入 result，result=2²,index变成 2⁴
3. 10最后一位又是0，所以这一位又可以忽略，index变成2⁸
4. 1最后一位是1，把它乘入 result (2²*2⁸)，得到最后结果 2¹⁰
   

快速幂取模

通过上面的公式

(a*b) %c = ((a % c)*(b % c)) % c

代码

// 1000000007是一个质数（素数），对质数取余能最大程度避免结果冲突/重复
static int mod = 1000000007;
    public static int pow(int x,int n) 
        int result = 1; //结果
        int index = x; //二进制位
        while (n != 0) 
            // 若果最后一位二进制为1说明是有效位
            if ((n&1) == 1) 
                result *= index;
                result %= mod;
            
            index *= index;
            index %= mod;
            n>>=1;
        

        return result;