快速幂乘法&快速幂取余

Posted 2022-02-09 'or 1 or 不正经の泡泡

文章目录

• 前言
• 推导
• • 暴力运算
  • 快幂乘法
  • 快速幂乘法
  • 例题
• 快速取余
• • 推导
  • 例题
  • 注意点
  • • 溢出问题
    • 费马小定理

前言

说出来你可能不信，我先前竟然不知道快速幂乘法这玩意。虽然这玩意也很简单，但是有些小细节还是要注意一下的。

推导

下面过程直接用python代码演示更直观

暴力运算

在先前我们假设需要计算 pow(3,10),我们的相法可能是

def mypow(a,n):
	
	for i in range(n-1):
		a*=a
	return a 
		

时间复杂度为O（n）

所以我们可以拆分。

快幂乘法

那么这里我们可以考虑一下不用乘那么多次，我们可以考虑对半一下。
例如 3¹⁰ = (3²)⁵
此时我们的10就拆成了5.

快速幂乘法

但是我们的5还能再拆，于是我们可以一直拆下去，但是注意
3⁵ 的时候 5 是奇数，所以我们要拆成 3*3⁴

def mypow(a,n):
	res = 1
	while(n>0):
		if(n%2==0):
			n = n/2
			a = a*a
		else:
			n = n-1
			res = res*a
			n = n/2

优化一下

def mypow(a,n):
	res = 1
	while(n>0):
		if(n%2!=0):
		    n=n-1
			res = res*a
		n = n/2
		a = a*a
	return res
		

例题

Letcode 剑指Offer16 数值的整数次方

实现 pow(x, n) ，即计算 x 的 n 次幂函数（即，xn）。不得使用库函数，同时不需要考虑大数问题。

示例 1：

输入：x = 2.00000, n = 10 输出：1024.00000
示例 2：

输入：x = 2.10000, n = 3 输出：9.26100

class Solution 
    public double myPow(double x, int n) 
        if(x == 0) return 0;
        long b = n;
        double res = 1.0;
        if(b < 0) 
            x = 1 / x;
            b = -b;
        
        while(b > 0)
            
            if((b & 1) == 1)//等价 b%2==1
                res *= x;
            
            x *= x;
            b >>= 1;//等价b/=2
        
        return res;
    

快速取余

推导

这个主要是和取余的性质挂钩。

(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）

(a - b) % p = (a % p - b % p ) % p （2）

(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）

所以我们在我们快速乘的过程当中我们就会使用到这种性质。

例如 3³ % 2 = (3*3²)%2 = 3%2 * (3 * 3)%2

所以我们如果想要取余的话，直接在原有的基础上取余即可

def mypow(a,n,y):
	res = 1
	while(n>0):
		if(n%2!=0):
		    n=n-1
			res = res*a % y
		n = n/2
		a = a*a % y
	return res
		

把上面的例子往代码里面带入就是这个，也可以展开。

例题

这个是一个蓝桥杯的题目。

:
问题描述
　　//据说很多人的题目会有一大堆废话，本傻×就不在这里废话了。
　　就是叫你算A的B的C次方次方。
　　当然了，为了方便起见，把答案%1,000,000,007输出就好。
输入格式
　　一行，三个整数A，B，C，以空格隔开。
输出格式
　　输出A的B的C次方次方%1,000,000,007。
样例输入
3 4 5
样例输出
763327764
数据规模和约定
　　0≤A,B,C≤1,000,000,000

这里就是叫我们求

a^(b ^c) %1000000007

注意点

溢出问题

首先是我们java里面int 真难放不下。所以要用Long

import java.util.Scanner;

public class Main 
    public static void main(String[] args) 
        Scanner s = new Scanner(System.in);
        String inputStr = s.nextLine();
        String[] strArray = inputStr.split(" ");
        Long[] num = new Long[strArray.length];
        for (int i = 0; i < num.length; i++) 
            num[i] = Long.parseLong(strArray[i]);
        

        Long A = num[0];
        Long B = num[1];
        Long C = num[2];
        Long mod = 1000000007L;
        System.out.printf(String.valueOf(PowerMod2(A,PowerMod2(B,C,mod),mod)));

    

    public static Long PowerMod2(Long a,Long b,Long c)
        Long ans = 1L;
        while (b>0)
            if(b%2!=0)
                //为奇数
                ans = ans*a % c;
            
            b  = b/2;
            a = a*a %c;

        
        return ans;
    

在这里你以为就完了嘛，我也以为是，然后。。。。。。

然后我又去查，没错我以为我又溢出了。后来我发现了这个东西

费马小定理

这个意思就是说
a^b % k = a^b%(k-1) % k

推理过程如下
a^b % k
=a^{(k-1)*(k/(k-1)+k%(k-1)} % k
=(a^(k-1))^(k/k-1) % k
=a^b%(k-1) % k

所以代码调用要要写个mod-1

System.out.printf(String.valueOf(PowerMod2(A,PowerMod2(B,C,mod-1),mod)));

然后就过来了