将正整数n表示成k个正整数的和（不计各数次序），称为正整数n分为k部分的一个划分，两个划分中，如果各加

Posted 2023-04-21

将正整数n表示成k个正整数的和（不计各数次序），称为正整数n分为k部分的一个划分，两个划分中，如果各加数不全相同，则称为不同的划分，将正整数n分成k部分的不同划分的个数记P（n，k），则P（10，3）等于（　　）A．C103B．10C．8D．3

将正整数n分成k部分的不同划分的个数记P（n，k），则P（10，3）等于8。选择C即可。

排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。

排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。 排列组合与古典概率论关系密切。

基本计数原理

1、加法原理和分类计数法加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。

2、第一类办法的方法属于集合A1，第二类办法的方法属于集合A2，……，第n类办法的方法属于集合An，那么完成这件事的方法属于集合A1UA2U…UAn。

3、分类的要求 ：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）。

以上内容参考：百度百科——排列组合

参考技术A 由题意知本题是要把10划分成3部分，
可以列举出所有的情况（1、1、8）（1、2、7）（1、3、6）（1、4、5）
（2、2、6）（2、3、5）（2、4、4）（3、3、4）
共有8种结果，
故选C．本回答被提问者采纳

7219:复杂的整数划分问题

题目链接：

http://noi.openjudge.cn/ch0207/7219/

http://bailian.openjudge.cn/practice/4119/

总时间限制: 

200ms

 

内存限制: 

65536kB

描述

将正整数n 表示成一系列正整数之和，n=n1+n2+…+nk, 其中n1>=n2>=…>=nk>=1 ，k>=1 。
正整数n 的这种表示称为正整数n 的划分。

输入

标准的输入包含若干组测试数据。每组测试数据是一行输入数据,包括两个整数N 和 K。 
(0 < N <= 50, 0 < K <= N)

输出

对于每组测试数据，输出以下三行数据:
第一行: N划分成K个正整数之和的划分数目
第二行: N划分成若干个不同正整数之和的划分数目
第三行: N划分成若干个奇正整数之和的划分数目

样例输入

5 2

样例输出

2
3
3

输出说明

第一行: 4+1, 3+2,
第二行: 5，4+1，3+2
第三行: 5，1+1+3， 1+1+1+1+1+1

分析

参考来源：http://blog.csdn.net/tp7309/article/details/54880495

整数划分问题这几个变形确实很经典，需要一个个说明下： 
设dp[n][m]表示数n划分方案中，每个数 不大于m 的划分数。

N划分成若干个可相同正整数之和（递归分析与实现）

划分分两种情况：

• 划分中每个数都小于m：则划分数为dp[n][m-1]。
• 划分中至少有一个数等于m：则从n中减去去m，然后从n-m中再划分，则划分数为dp[n-m][m]。

动态转移方程：dp[n][m]=dp[n][m-1]+dp[n-m][m]。

N划分成若干个不同正整数之和

划分分两种情况：

• 划分中每个数都小于m：则划分数为dp[n][m-1]。
• 划分中至少有一个数等于m：则从n中减去m，然后从n-m中再划分，且再划分的数中每个数要小于m, 则划分数为dp[n-m][m-1]。

动态转移方程：dp[n][m]=dp[n][m-1]+dp[n-m][m-1]。

N划分成K个正整数之和（递归分析与实现）

设dp[n][k]表示数n划分成k个正整数之和时的划分数。 
划分分两种情况：

• 划分中不包含1：则要求每个数都大于1，可以先拿出k个1分到每一份，之后在n-k中再划分k份，即dp[n-k][k]。
• 划分中包含1：则从n中减去1，然后从n-1中再划分k-1份, 则划分数为dp[n-1][k-1]。

动态转移方程：dp[n][k]=dp[n-k][k]+dp[n-1][k-1]。

N划分成若干个奇正整数之和

设f[i][j]表示将数i分成j个正奇数，g[i][j]表示将数i分成j个正偶数。 
首先如果先给j个划分每个分个1，因为奇数加1即为偶数，所以可得： 
f[i-j][j] = g[i][j]。 
划分分两种情况：

• 划分中不包含1：则要求每个数都大于1，可以先拿出k个1分到每一份，刚可将问题转换为”从i-j中划分j个偶数”，即g[i-j][j]。
• 划分中包含1：则从n中减去1，然后从n-1中再划分k-1份, 则划分数为f[n-1][k-1]。

动态转移方程：f[i][j]=f[i-1][j-1]+g[i-j][j]。

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstring>
 3 using namespace std;
 4 #define N 51
 5 int dp1[N][N];    //N划分成K个正整数之和的划分数目。
 6 int dp2[N][N];    //N划分成若干个不同正整数之和的划分数目。
 7 int dp3[N][N];    //N划分成若干个可相同的正整数之和的划分数目。
 8 int f[N][N];      //N划分成K个奇正整数之和的划分数目。
 9 int g[N][N];      //N划分成K个偶正整数之和的划分数目。
10 
11 void initDivideInt() {
12     memset(dp1, 0, sizeof(dp1));  //dp[n][k]=dp[n-k][k]+dp[n-1][k-1]
13     memset(dp2, 0, sizeof(dp2));  //dp[n][m]=dp[n][m-1]+dp[n-m][m-1]
14     memset(dp3, 0, sizeof(dp3));  //dp[n][m]=dp[n][m-1]+dp[n-m][m]
15 
16     for (int i = 1; i < N; i++) {
17         for (int j = 1; j < N; j++) {
18             if (i < j) {
19                 dp1[i][j] = 0;
20                 dp2[i][j] = dp2[i][i];
21                 dp3[i][j] = dp3[i][i];
22             }
23             else if (i == j) {
24                 dp1[i][j] = 1;
25                 dp2[i][j] = dp2[i][j - 1] + 1;
26                 dp3[i][j] = dp3[i][j - 1] + 1;
27             }
28             else {
29                 dp1[i][j] = dp1[i - j][j] + dp1[i - 1][j - 1];
30                 dp2[i][j] = dp2[i][j - 1] + dp2[i - j][j - 1];
31                 dp3[i][j] = dp3[i][j - 1] + dp3[i - j][j];
32             }
33         }
34     }
35 }
36 
37 //f[i][j]=f[i-1][j-1]+g[i-j][j]
38 void initDivideOdd() {
39     f[0][0] = 1;
40     g[0][0] = 1;
41     for (int i = 1; i < N; i++) {
42         for (int j = 1; j <= i; j++) {
43             g[i][j] = f[i - j][j];
44             f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + g[i - j][j];
45         }
46     }
47 }
48 
49 int main() {
50 //  freopen("in.txt", "r", stdin);
51     int n, k;
52     initDivideInt();
53     initDivideOdd();
54     while (cin >> n >> k) {
55         cout << dp1[n][k] << endl;
56         cout << dp2[n][n] << endl;
57 
58         int sum = 0;
59         for (int i = 0; i <= n; i++) {
60             sum += f[n][i];
61         }
62         cout << sum << endl;
63     }
64     return 0;
65 }

 

另一篇分析：http://www.cnblogs.com/sjymj/p/5385436.html

推荐阅读：http://blog.csdn.net/codingdd/article/details/61414550