机器学习常用距离度量

Posted 赵广陆

tags:

篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了机器学习常用距离度量相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

目录


1 距离公式的基本性质

在机器学习过程中,对于函数 dist(),若它是一"距离度量" (distance measure),则需满足一些基本性质:

直递性常被直接称为“三角不等式”。

2 常见的距离公式

2.1 欧式距离

欧氏距离(Euclidean Distance)是最容易直观理解的距离度量方法,我们小学、初中和高中接触到的两个点在空间中的距离一般都是指欧氏距离。

举例:

X=[[1,1],[2,2],[3,3],[4,4]];
经计算得:
d = 1.4142    2.8284    4.2426    1.4142    2.8284    1.4142

2.2 曼哈顿距离

在曼哈顿街区要从一个十字路口开车到另一个十字路口,驾驶距离显然不是两点间的直线距离。这个实际驾驶距离就是“曼哈顿距离(Manhattan Distance)”。曼哈顿距离也称为“城市街区距离”(City Block distance)。

举例:

X=[[1,1],[2,2],[3,3],[4,4]];
经计算得:
d =   2     4     6     2     4     2

2.3 切比雪夫距离

国际象棋中,国王可以直行、横行、斜行,所以国王走一步可以移动到相邻8个方格中的任意一个。国王从格子(x1,y1)走到格子(x2,y2)最少需要多少步?这个距离就叫切比雪夫距离(Chebyshev Distance)。

举例:

X=[[1,1],[2,2],[3,3],[4,4]];
经计算得:
d =   1     2     3     1     2     1

2.4 闵可夫斯基距离

闵氏距离(Minkowski Distance)不是一种距离,而是一组距离的定义,是对多个距离度量公式的概括性的表述。

两个n维变量a(x11,x12,…,x1n)与b(x21,x22,…,x2n)间的闵可夫斯基距离定义为:

其中p是一个变参数:

  • 当p=1时,就是曼哈顿距离;
  • 当p=2时,就是欧氏距离;
  • 当p→∞时,就是切比雪夫距离。

根据p的不同,闵氏距离可以表示某一类/种的距离。

小结:

1 闵氏距离,包括曼哈顿距离、欧氏距离和切比雪夫距离,都存在明显的缺点:

e.g. 二维样本(身高[单位:cm],体重[单位:kg]),现有三个样本:a(180,50),b(190,50),c(180,60)。

a与b的闵氏距离(无论是曼哈顿距离、欧氏距离或切比雪夫距离)等于a与c的闵氏距离。但实际上身高的10cm并不能和体重的10kg划等号。

2 闵氏距离的缺点:

(1)将各个分量的量纲(scale),也就是“单位”相同的看待了;

(2)未考虑各个分量的分布(期望,方差等)可能是不同的。


3 连续属性和离散属性的距离计算

我们常将属性划分为"连续属性" (continuous attribute)和"离散属性" (categorical attribute),前者在定义域上有无穷多个可能的取值,后者在定义域上是有限个取值.

  • 若属性值之间存在序关系,则可以将其转化为连续值,例如:身高属性“高”“中等”“矮”,可转化为1, 0.5, 0。
    • 闵可夫斯基距离可以用于有序属性。
  • 若属性值之间不存在序关系,则通常将其转化为向量的形式,例如:性别属性“男”“女”,可转化为(1,0),(0,1)。

4 小结

  • 1 距离公式的基本性质:非负性、统一性、对称性、直递性
  • 2 常见距离公式
    • 2.1 欧式距离(Euclidean Distance):
      • 通过距离平方值进行计算
    • 2.曼哈顿距离(Manhattan Distance):
      • 通过距离的绝对值进行计算
    • 3.切比雪夫距离 (Chebyshev Distance):
      • 维度的最大值进行计算
    • 4.闵可夫斯基距离(Minkowski Distance):
      • 当p=1时,就是曼哈顿距离;
      • 当p=2时,就是欧氏距离;
      • 当p→∞时,就是切比雪夫距离。
  • 3 属性
    • 连续属性
    • 离散属性,
      • 存在序关系,可以将其转化为连续值
      • 不存在序关系,通常将其转化为向量的形式

5 其他距离公式

5.1 标准化欧氏距离

标准化欧氏距离(Standardized EuclideanDistance)是针对欧氏距离的缺点而作的一种改进。

思路:既然数据各维分量的分布不一样,那先将各个分量都“标准化”到均值、方差相等。

tips: Sk表示各个维度的标准差

如果将方差的倒数看成一个权重,也可称之为加权欧氏距离(Weighted Euclidean distance)。

举例:

X=[[1,1],[2,2],[3,3],[4,4]];(假设两个分量的标准差分别为0.5和1)
经计算得:
d =   2.2361    4.4721    6.7082    2.2361    4.4721    2.2361

5.2 余弦距离

几何中,夹角余弦可用来衡量两个向量方向的差异;机器学习中,借用这一概念来衡量样本向量之间的差异,就是余弦距离(Cosine Distance)。

  • 二维空间中向量A(x1,y1)与向量B(x2,y2)的夹角余弦公式:

  • 两个n维样本点a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2n)的夹角余弦为:

即:

夹角余弦取值范围为[-1,1]。余弦越大表示两个向量的夹角越小,余弦越小表示两向量的夹角越大。当两个向量的方向重合时余弦取最大值1,当两个向量的方向完全相反余弦取最小值-1。

举例:

X=[[1,1],[1,2],[2,5],[1,-4]]
经计算得:
d =   0.9487    0.9191   -0.5145    0.9965   -0.7593   -0.8107

5.3 汉明距离

两个等长字符串s1与s2的汉明距离(Hamming Distance)为:将其中一个变为另外一个所需要作的最小字符替换次数。

例如:

  The Hamming distance between "1011101" and "1001001" is 2. 
  The Hamming distance between "2143896" and "2233796" is 3. 
  The Hamming distance between "toned" and "roses" is 3.

随堂练习:
求下列字符串的汉明距离:

  1011101与 1001001  

  2143896与 2233796 
 
  irie与 rise

汉明重量:是字符串相对于同样长度的零字符串的汉明距离,也就是说,它是字符串中非零的元素个数:对于二进制字符串来说,就是 1 的个数,所以 11101 的汉明重量是 4。因此,如果向量空间中的元素a和b之间的汉明距离等于它们汉明重量的差a-b。

应用:汉明重量分析在包括信息论、编码理论、密码学等领域都有应用。比如在信息编码过程中,为了增强容错性,应使得编码间的最小汉明距离尽可能大。但是,如果要比较两个不同长度的字符串,不仅要进行替换,而且要进行插入与删除的运算,在这种场合下,通常使用更加复杂的编辑距离等算法。

举例:

X=[[0,1,1],[1,1,2],[1,5,2]]
注:以下计算方式中,把2个向量之间的汉明距离定义为2个向量不同的分量所占的百分比。

经计算得:
d =   0.6667    1.0000    0.3333

5.4 杰卡德距离

杰卡德相似系数(Jaccard similarity coefficient):两个集合A和B的交集元素在A,B的并集中所占的比例,称为两个集合的杰卡德相似系数,用符号J(A,B)表示:

杰卡德距离(Jaccard Distance):与杰卡德相似系数相反,用两个集合中不同元素占所有元素的比例来衡量两个集合的区分度:

举例:

X=[[1,1,0],[1,-1,0],[-1,1,0]]
注:以下计算中,把杰卡德距离定义为不同的维度的个数占“非全零维度”的比例
经计算得:
d =   0.5000    0.5000    1.0000

5.5 马氏距离

下图有两个正态分布图,它们的均值分别为a和b,但方差不一样,则图中的A点离哪个总体更近?或者说A有更大的概率属于谁?显然,A离左边的更近,A属于左边总体的概率更大,尽管A与a的欧式距离远一些。这就是马氏距离的直观解释。

马氏距离(Mahalanobis Distance)是基于样本分布的一种距离。

马氏距离是由印度统计学家马哈拉诺比斯提出的,表示数据的协方差距离。它是一种有效的计算两个位置样本集的相似度的方法。

与欧式距离不同的是,它考虑到各种特性之间的联系,即独立于测量尺度。

**马氏距离定义:**设总体G为m维总体(考察m个指标),均值向量为μ=(μ1,μ2,… …,μm,)`,协方差阵为∑=(σij),

则样本X=(X1,X2,… …,Xm,)`与总体G的马氏距离定义为:

马氏距离也可以定义为两个服从同一分布并且其协方差矩阵为∑的随机变量的差异程度:如果协方差矩阵为单位矩阵,马氏距离就简化为欧式距离;如果协方差矩阵为对角矩阵,则其也可称为正规化的欧式距离。

马氏距离特性:

1.量纲无关,排除变量之间的相关性的干扰;

2.马氏距离的计算是建立在总体样本的基础上的,如果拿同样的两个样本,放入两个不同的总体中,最后计算得出的两个样本间的马氏距离通常是不相同的,除非这两个总体的协方差矩阵碰巧相同;

3 .计算马氏距离过程中,要求总体样本数大于样本的维数,否则得到的总体样本协方差矩阵逆矩阵不存在,这种情况下,用欧式距离计算即可。

4.还有一种情况,满足了条件总体样本数大于样本的维数,但是协方差矩阵的逆矩阵仍然不存在,比如三个样本点(3,4),(5,6),(7,8),这种情况是因为这三个样本在其所处的二维空间平面内共线。这种情况下,也采用欧式距离计算。

欧式距离&马氏距离:

举例:

已知有两个类G1和G2,比如G1是设备A生产的产品,G2是设备B生产的同类产品。设备A的产品质量高(如考察指标为耐磨度X),其平均耐磨度μ1=80,反映设备精度的方差σ2(1)=0.25;设备B的产品质量稍差,其平均耐磨损度μ2=75,反映设备精度的方差σ2(2)=4.

今有一产品G0,测的耐磨损度X0=78,试判断该产品是哪一台设备生产的?

直观地看,X0与μ1(设备A)的绝对距离近些,按距离最近的原则,是否应把该产品判断设备A生产的?

考虑一种相对于分散性的距离,记X0与G1,G2的相对距离为d1,d2,则:

因为d2=1.5 < d1=4,按这种距离准则,应判断X0为设备B生产的。

设备B生产的产品质量较分散,出现X0为78的可能性较大;而设备A生产的产品质量较集中,出现X0为78的可能性较小。

这种相对于分散性的距离判断就是马氏距离。

以上是关于机器学习常用距离度量的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

机器学习基本概念总结

机器学习基本概念总结

相似性度量(转)

机器学习常用距离度量

余弦距离

距离公式汇总以及Python实现