查看一个点是不是位于一条线上（向量）

Posted 2023-02-22

【中文标题】查看一个点是不是位于一条线上（向量）

【英文标题】：See if a point lies on a line(vector)查看一个点是否位于一条线上（向量）

【发布时间】：2014-11-10 17:39:50

【问题描述】：

我的程序中目前有以下行。我还有另外两个整数变量，x 和 y。

我想看看这个新点(x, y) 是否在这条线上。我一直在看以下线程：

Given a start and end point, and a distance, calculate a point along a line

我想出了以下几点：

if(x >= x1 && x <= x2 && (y >= y1 && y <= y2 || y <= y1 && y >= y2))

    float vx = x2 - x1;
    float vy = y2 - y1;
    float mag = sqrt(vx*vx + vy*vy);
    // need to get the unit vector (direction)
    float dvx = vx/mag; // this would be the unit vector (direction) x for the line
    float dvy = vy/mag; // this would be the unit vector (direction) y for the line

    float vcx = x - x1;
    float vcy = y - y1;
    float magc = sqrt(vcx*vcx + vcy*vcy);
    // need to get the unit vector (direction)
    float dvcx = vcx/magc; // this would be the unit vector (direction) x for the point
    float dvcy = vcy/magc; // this would be the unit vector (direction) y for the point

    // I was thinking of comparing the direction of the two vectors, if they are the same then the point must lie on the line?
    if(dvcx == dvx && dvcy == dvy)
    
        // the point is on the line!
    

它似乎不起作用，还是这个想法很糟糕？

【问题讨论】：

它是二维的，为什么不简单地将 (x,y) 放在从 (x1,y1) 和 (x2,y2) 获得的直线方程中？

(x, y) 是一个点（如标题所示）还是一个向量（如问题所示）？这个问题似乎只有当它是一个点时才真正有意义，但也许你在谈论由两个向量定义的线是否相交？

首先，请说明您的条件/假设。如果您正在处理浮点数，则必须考虑浮点数的不准确性。将数学直接转化为公式是行不通的。

@JerryCoffin 一点！为不一致的符号道歉。

见this

【参考方案1】：

浮点数的精度有限，因此您会从计算中得到舍入误差，从而导致在数学上应该相等的值最终会略有不同。

您需要与较小的误差容差进行比较：

if (std::abs(dvcx-dvx) < tolerance && std::abs(dvcy-dvy) < tolerance)

    // the point is (more or less) on the line!

困难的部分是选择公差。如果您不能接受任何错误，那么您将需要使用固定精度浮点值以外的其他值 - 可能是整数，并重新安排计算以避免除法和其他不精确的操作。

在任何情况下，您都可以更简单地执行此操作，无需平方根之类的任何东西。你想知道这两个向量是否平行；如果向量积为零，或者等效地，如果它们具有相等的切线，则它们是。所以你只需要

if (vx * vcy == vy * vcx)  // might still need a tolerance for floating-point

    // the point is on the line!

如果您的输入是整数，足够小以至于乘法不会溢出，那么根本不需要浮点运算。

【讨论】：

详细来说，x1、y1和x2、y2都是整数！

@KarlMorrison：在这种情况下，您应该能够完全避免浮点恶作剧。请参阅我的更新答案。

【参考方案2】：

解决此问题的一种有效方法是使用三角形的有符号面积。当由点x1,y1、x2,y2 和x,y 创建的三角形的带符号区域接近于零时，您可以认为x,y 在线。正如其他人所提到的，如果您使用的是浮点值，那么选择一个好的容差值是其中的一个重要部分。

bool isPointOnLine (xy p1, xy p2, xy p3) // returns true if p3 is on line p1, p2
    
    xy va = p1 - p2;
    xy vb = p3 - p2;
    area = va.x * vb.y - va.y * vb.x;
    if (abs (area) < tolerance)
        return true;
    return false;
    

这会让您知道x,y 是否在线，但它不会确定x,y 是否包含在线段中。为此，您还需要检查 x,y 与线段的边界。

【参考方案3】：

首先你需要计算你的直线方程。然后看看这个等式是否适用于你拥有的 x 和 y 的值。要计算直线的方程，您需要计算出它与 y 轴相交的位置以及它的梯度。方程的形式为 y=mx+c，其中 m 是梯度，c 是“截距”（直线与 y 轴相交处）。

【参考方案4】：

对于浮点值，不要使用 == 而是测试小的差异：

if (fabs(dvcx-dvx) < delta && fabs(dvcy-dvy) < delta)

另外，你不需要单位向量，只需要切线：

float originalTangent = (y2 - y1) / (x2 - x1);
float newTangent = (y - y1) / (x - x1);
if (fabs(newTangent - originalTangent) < delta)  ... 

（delta 应该是一个很小的数字，取决于您期望的准确度。）

【参考方案5】：

鉴于 (x, y) 实际上是一个点，这项工作似乎比你做的要简单一些。

您可能希望从检查完美的水平线或垂直线开始。在这些情况下，您只需检查x 是否介于x1 和x2 之间（或y 是否介于y1 和y2 之间）。

否则，您可以在x 上使用线性插值，看看它是否为您提供了正确的 y 值（在一些可能的舍入公差范围内）。为此，您可以执行以下操作：

slope = (y2-y1)/(x2-x1);
if (abs(slope * (x - x1) - y) < tolerance)
    // (x,y) is on the line
else
    // (x,y) isn't on the line