p==q 时的 RSA 加密

Posted 2023-03-22

【中文标题】p==q 时的 RSA 加密

【英文标题】：RSA crypto when p==q

【发布时间】：2021-07-31 23:33:48

【问题描述】：

两天前我参加了 DawgCTF。 我正要解决 RSA 问题，但我无法解决。

DawgCTF 的 RSA 问题给出了 n、e、c。

所以，我使用factordb对n进行因式分解，n的结果是只有一个素数的平方。（即n=p^2） 我从未见过 RSA Crypto 中 p 和 q 相同的情况。 无论如何，我让 phi 为 (p-1)(q-1) 并编写如下代码。 (phi 表示欧拉的 phi)

from Crypto.Util.number import inverse, long_to_bytes
import string

n = ~~~ 
e = 65537
c = ~~~
p = ~~~ # I omit q because p==q


phi = (p-1) * (p-1)
d = inverse(e, phi)
m = pow(c, d, n)

m = long_to_bytes(m)
print(m)

但是，它没有用！！！

在 CTF 之后，我找了一篇文章，其中他没有将 phi 设置为 (p-1)^2，而是 p*(p-1)。 但是，我不知道为什么... 为什么当 p==q 时 phi 应该是 p*(p-1)？？

如果您能解释一下，我将不胜感激。

【参考方案1】：

phi(p * q) = phi(p) * phi(q) = (p - 1) * (q - 1) 中的第一个等号假定 p 和 q 是互质数（请参阅 [1]），而第二个等号假定 p 和 q 是质数（请参阅[2] ，k = 1)。 p = q 违反了第一个条件，这就是为什么这种关系对p = q 有效。

另一方面，对于k = 2，它遵循[2] phi(p * p) = p * (p - 1)，即p = q 的CTF 解决方案中使用的关系。

然而，对于 RSA 在实践中，p != q 是一个先决条件，请参阅 [3] 和 [4]（否则可以快速确定 p 和 q：p = q = sqrt(N)）。