在 O(logk) 时间内删除 K 个排序的双向链表的最小值

Posted 2023-03-16

【中文标题】在 O(logk) 时间内删除 K 个排序的双向链表的最小值

【英文标题】：Remove min for K sorted doubly linked lists in O(logk) time

【发布时间】：2020-07-12 17:12:39

【问题描述】：

所以我正在尝试创建一个算法来解决从 k 个排序的双向链表中删除最小值的问题。在这里，我们有 k 个排序的双向链表，其中 n 是所有列表中所有元素的总和。我们希望能够在 O(logk) 时间内移除最小值，并且只需要 O(n)是时候初始化数据结构了。

我正在考虑创建一个最小堆，其中元素是每个列表的第一个元素（因此一次只有 k 个元素在堆中），但我不完全确定从那里去哪里，特别是添加其余元素放入堆中。谁能帮我解决这个问题？

【问题讨论】：

O(log n) 时间甚至不足以遍历您拥有的链表。但除此之外，是的，将事物扔进以列表中的最小值为键的二进制堆中是个好主意。

啊等一下，我意识到我打错了，假设是 O(n) 时间来初始化数据结构。关于如何考虑列表中不在堆中的其他元素，您有什么建议吗？例如，假设我有 2 个列表 A = 1, 1, 2, 3 和 B = 2, 3, 4, 5。堆将包含元素 1, 2，如果您调用 remove min 一次，将返回 1。如果你再次调用它，那么将返回 2，但它应该是 1，因为 A 有一个重复项。我不知道我该怎么做

@oliviah 堆将是一个链表堆，具有比较前导值的比较操作。现在您编写一个函数，从堆中拉出具有最小元素的列表，将该列表的尾部插入堆中（假设尾部非空），然后返回提取的值。

你知道每个列表的长度还是必须迭代才能知道？

【参考方案1】：

据我了解（如果我错了，请纠正我），您有 K 个已排序的双向链表。您想继续删除最小的元素。每次删除都必须在 O(logK) 内完成。

举个例子：

A = 1, 1, 2, 3
B = 2, 3, 4, 5

您可以将每个列表的第一个元素及其所属的列表插入到最小堆中。

heap = [key: 1, list: A, key: 2, list: B]

然后你可以从最小堆中弹出最小的元素。您现在可以删除此元素。

min_val = heap.pop()     // key: 1, list: A
min_list = min_val.list  // list = A
min_list.delete_first()  // new A = 1, 2, 3

删除后，您必须将此列表中的下一个元素添加回最小堆（如果列表非空，则跳过此步骤）。

heap.add( 
  key: min_list.fist_element(), // key: 1
  list: min_list                // list: A
)
// new heap = [key: 1, list: A, key: 2, list: B]

现在您可以对每个删除操作重复此操作。从最小堆中弹出最小的O(1)，删除最小的元素（即双向链表中的第一个元素）O(1)，添加下一个同一列表中的元素返回到最小堆 O(logK)。

【讨论】：

如果你的堆实现允许，我会避免弹出最小的元素：我会用列表的新头部替换它的值，并根据需要将它下推到堆中——节省一个堆操作。

【参考方案2】：

您有 k 个列表，所有列表的总和为 n，因此每个列表的平均总和应为 a = n/k。

秘密问题是：您需要多长时间遍历一个列表才能找出总和至少为 a？

例如，假设 a = 10 并且您的列表是 [5, 6, 7]。只需查看第一个元素（并知道列表的长度），您就知道列表的总和大于平均值，因此您可以完全忽略它。基本上，对于您从列表L 中读取的每个元素Li，您可以询问是否

L1 + L2 + ... + Li + (Li * (s - i)) >= n/k

其中s 是列表的长度。只要您需要阅读列表，这不会花费您额外的时间，并且会减少大约一半的列表。