傅里叶分析

Posted 2023-05-11

参考技术A 姓名：宫松涛

学号：19021210927

【嵌牛导读】傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。所以这篇文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。

【嵌牛提问】如何理解傅里叶变换？

【嵌牛正文】

一、什么是频域

从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。

先举一个 公式上并非很恰当 ，但意义上再贴切不过的例子：

在你的理解中，一段音乐是什么呢？

这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：

好的！下课，同学们再见。

是的，其实这一段写到这里已经可以结束了。上图是音乐在时域的样子，而下图则是音乐在频域的样子。所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是从来没意识到而已。

现在我们可以回过头来重新看看一开始那句痴人说梦般的话：世界是永恒的。

将以上两图简化：

时域：

频域：

在时域，我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动，就如同一支股票的走势；而在频域，只有那一个永恒的音符。

所以

你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。

抱歉，这不是一句鸡汤文，而是黑板上确凿的公式：傅里叶同学告诉我们，任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。在第一个例子里我们可以理解为，利用对不同琴键不同力度，不同时间点的敲击，可以组合出任何一首乐曲。

而贯穿时域与频域的方法之一，就是传中说的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换(Fourier Transformation)，我们从简单的开始谈起。

漫画傅里叶分析——1.通往傅里叶变换的道路

1.声音与频率

本书开头是以乐队主唱及吉他演奏开始的，那么我们也用吉他来示例。

声音是通过改变对空气的压力以波的形式传播的，这个压力变化称为声压。声压的传播是在一定时间内通过一种声压波形传递的形式。这种波形经过图形化方式表示后就成为了一种正弦函数表达方式。

1秒内相邻波峰和波谷的波形往返重复的次数就是频率。现实中的声音是复杂的波形，由简单波形组合而成。构成复杂波形的简单波形称为频率成分。

在时间中的物理量要得到在频率中的强度变换就是傅里叶变换，反过来就是傅里叶逆变换。用傅里叶变换研究频率谱的特征方法叫做傅里叶解析。

 

2.横波和纵波

电磁波是横波。电磁波传递方向垂直于波的传播方向，且电场和磁场强度随时间而变化。

声音传播为纵波。声音利用空气振动使空气密度变高或者变低来传播。声波传播方向和振动方向相同。传播需媒介。

以上两者图形化后都可用正弦函数sin表示。

 

3.波的时间变化

横波和纵波都是频率随着时间变化而形成的，研究频率和强度的数学方法就是傅里叶变换。

 

4.频率和振幅

振幅是信号的高低差，波形中相邻的一个波峰和波谷的时间长度是周期。

使用傅里叶变换分析原则上需波形有一定的周期性。分析时需从最大波峰分段开始简化为简单波形处理。

 

6.傅里叶变换的数学准备

（1）函数的正交

（2）函数的四则运算和函数的积及其定积分

（3）微分