2.数值计算 --求解连续微分系统和混沌系统

Posted 2022-11-07

前言

微分系统在工程项目中很常见，通过物理建模之后，基本都需要求解微分方程得到其结果，混沌系统属于特殊的一类微分系统，在某些项目上也很常见，同时可以引申出分岔图、李雅普诺夫指数谱、相图、庞加莱截面等，本文探讨通过matlab常见的微分求解函数和simulink求解器来实现计算。

关键字：微分系统，混沌系统，Simulink

正文

1、常微分方程（Lorenze混沌系统）

方法1：m文件实现

x0=[0;0;1e-3]; %设定初始值
[t,x]=ode45(@lorenzfun,[0,100],x0); %调用函数ode45求解，
figure(1)
plot(t,x)
figure(2)
plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))

function dx=lorenzfun(t,x)
% 输入微分方程
a=10;c=28;b=8/3;
dx=zeros(3,1);
dx(1)=-b*x(1)+x(2)*x(3);
dx(2)=-a*x(2)+10*x(3);
dx(3)=-x(1)*x(2)+c*x(2)-x(3);

结果如图

 

方法2：Simulink模块实现

其中三个积分模块的初始值设置与exam1相同，仿真时长为100s。精度设置：Simulation--Configuration Parameters—Relative tolerance, 1e-3改为1e-5（试试不作此修改的结果比较）。运行后双击示波器scope后可看到。

在matlab命令窗口输入画图命令：

figure
plot(tout,yout)
figure
plot3(yout(:,2),yout(:,3),yout(:,1))

方法3：simulink向量模块

在Fcn模块里面分别定义好3组微分方程，最后进行积分求解即可

2、常时滞微分方程

方法1：m文件需调用dde23来求解

sol = dde23(exam1f,[1, 0.2],ones(3,1),[0, 5]);
plot(sol.x,sol.y);
title(Example 2)
xlabel(time t);
ylabel(y(t));

function v = exam1f(t,y,Z)
ylag1 = Z(:,1);
ylag2 = Z(:,2);
v = zeros(3,1);
v(1) = ylag1(1);
v(2) = ylag1(1) + ylag2(2);
v(3) = y(2);

方法2：Simulink中S函数来实现

注：用Simulink中S函数求解时滞微分方程的核心思想在于：将时滞变量作为S函数的外部输入，这个需要通过transport delay模块实现。

延申思考

1、在求解微分方程后如何得到分叉图？

Tips:系统单参数分岔图的计算方法：最大值法和Poincare截面法，最大值法最为简便，对系统微分方程（组）进行求解，对求解的结果用getmax函数进行取点，并绘图即可。

Matlab 作为一个工具软件，拥有丰富的函数库，作为开发项目可以考虑直接用他的算法函数，高效快捷，但对于学习者，建议自己做底层，能自己写函数接口自己调用测试，就像前段时间闹得沸沸扬扬的某些科研机构Matlab被禁，被禁的话我们能做什么，底层算法自己能设计好，不用它也行。有啥tips或者讨论，咱们评论区见