数值计算方法 Chapter1. 插值

Posted 2022-05-09 Espresso Macchiato

• 数值计算方法 Chapter1. 插值
  • 1. 定义
  • 2. Lagrange插值
    • 1. 定义 & 实现
    • 2. 伪代码实现
    • 3. 误差分析
  • 3. Newton插值
    • 1. 定义 & 实现
    • 2. 伪代码实现
    • 3. 误差分析
  • 4. 分段插值
    • 1. 定义 & 实现
    • 2. 伪代码实现
    • 3. 误差分析
  • 5. 三次样条插值
    • 1. 定义

1. 定义

插值问题的本质其实就是：

• 给定一堆采样点，然后构造一个函数来对这堆采样点背后的真实函数表达进行拟合。

即是说，找一条经过这一堆采样点的曲线来对这些采样点背后的真实函数曲线进行描述。

我们给出书中的定义如下：

$f(x)$为定义在区间$[a,b]$上的函数，$x_0,...,x_n$为$[a,b]$上的$n+1$个互不相同的点，$\Phi$为给定的某一函数类，若$\Phi$上有函数$\varphi x$，满足
$$\varphi (x_i)=f(x_i),i=0,1,...,n$$
则称$\varphi (x)$为$f(x)$关于节点$x_0,...,x_n$在$\Phi$上的插值函数。称点$x_0,...,x_n$为插值节点；称$(x_i,f(x_i)),i=0,1,...,n$为插值型值点，简称型值点或者插值点；$f(x)$称为被插函数。

2. Lagrange插值

1. 定义 & 实现

Lagrange插值公式本质上就是用一个$n$阶函数来拟合这些采样点，因此，我们事实上就是要解如下方程组：

$$\{\begin{array}{rl}{y}_0& =a_0+a_1{x}_0+a_2{x}_0^2+...+a_n{x}_0^n\\ y_1& =a_0+a_1{x}_1+a_2{x}_1^2+...+a_n{x}_1^n\\ ...& \\ y_n& =a_0+a_1{x}_n+a_2{x}_n^2+...+a_n{x}_n^n\end{array}$$

当满足$x_0,...,x_n$互异时，上述方程的解是唯一的。

而Lagrange直接给出了一个插值函数，令其满足上述$n+1$个方程，亦即Lagrange插值函数：

$$L_n(x)=\sum _{i=0}^n{l}_i(x)y_i$$

其中，$l_i(x)$满足条件：

$$\begin{array}{rl}{l}_i& =1\text{ if }x=x_i\\ l_i& =0\text{ if }x=x_j,j\ne i\end{array}$$

图像处理中的“内插”是什么？插值图像内插值图像间插值重取样（用已知数据来估计未知位置的数值的处理）（最近邻内插法双线性内插）

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