算法竞赛进阶指南0x04 二分

Posted 2023-04-06 闫鸿宇

        二分法是一种随处可见却非常精妙的算法，经常能为我们打开解答问题的突破口。二分的基础的用法是在单调序列或单调函数中进行查找。因此当问题的答案具有单调性时，就可以通过二分把求解转化为判定 (根据复杂度理论，判定的难度小于求解)，这使得二分的运用范围变得更广泛。进一步地，我们还可以扩展到通过三分法去解决单峰函数的极值以及相关问题。

整数集合上的二分

        本篇文章所使用的二分的写法保证最终答案处于闭区间 [L,R] 以内，循环以 L = R结束，每次二分的中间值 mid 会归属于左半段与右半段二者之一。

$$ 在单调递增序列 a 中查找 \\ge x 的数中最小的一个(即 x 或 x 的后继)。$$

while (l < r) 
    int mid = (l + r) >> 1;
    // mid = (l + r) / 2
    if (a[mid] >= x) 
        r = mid;
     else 
        l = mid + 1;
    

return a[l];

lower_bound： 

int pos = std::lower_bound(a + 1, a + 1 + n, x) - (a + 1);
return a[pos];

$$ 在单调递增序列 a 中查找 \\le x 的数中最小的一个(即 x 或 x 的前驱)。$$

while (l < r) 
    int mid = (l + r + 1) >> 1;
    // mid = (l + r + 1) / 2
    if (a[mid] <= x) 
        l = mid;
     else 
        r = mid - 1;
    

return a[l];

        在第一段代码中，若 a[mid] >= x，则根据序列 a 的单调性， mid 之后的数会变大，所以 >= x的最小的数不可能在 mid 之后，可行区间应该缩小为左半段。因为 mid 也可能是答案，故此时应取 R = mid。同理，若 a[mid] < x，取 L = mid + 1。

        在第二段代码中，若 a[mid] <= x，则根据序列 a 的单调性，mid 之前的数会变小，所以<= x 的最大的数不可能在 mid 之前，可行区间应该缩小为右半段。因为 mid 也可能是答案，故此时应取 L = mid。同理，若 a[mid] > x，则取 R = mid  - 1。

实数域上的二分

三分求单峰函数极值

二分答案转化为判定

《算法竞赛进阶指南》0x38概率与数学期望 绿豆蛙的归宿

题目链接：https://www.acwing.com/problem/content/219/

题目给出一张有向无环图，要求从1到n的路径长度的数学期望，如果一个点有k条出边，那么走每条表的概率都是1/k，我们容易知道，记一个点x到终点n的路径的数学期望是dis[x]，那么dis[x]计算的结果依赖于他所能到达的所有的边，根据这个性质可以发现是跟拓扑排序有关系的，满足这样一种结构：在这个点处理之前它的所有可达的点都已经处理完了。

所以这个问题需要在拓扑排序的同时进行更新操作，需要建立反图，建反图是为了从可达点到该点进行更新。信息的传递是从终点开始的，所以需要建立一张反图进行反向递推。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
using namespace std;
const int maxn = 100010;
int head[maxn],nxt[maxn*2],ver[maxn*2],len[maxn*2];
int n,m;
int tot=0;
int deg[maxn],out[maxn];
double dis[maxn];//记录点i到n的路径数学期望 
void addedge(int u,int v,int w){
    ver[++tot]=v;
    len[tot]=w;
    nxt[tot]=head[u];
    head[u]=tot;
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    int u,v,w;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        addedge(v,u,w);//建反图 
        deg[u]++;
        out[u]++;
    }
    queue<int> q;
    q.push(n);
    while(q.size()){
        int x=q.front();
        q.pop();
        for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
            int y=ver[i];
            dis[y]+=(dis[x]+(double)len[i])/deg[y];
            if(--out[y]==0)q.push(y);
        }
    }
    printf("%.2lf
",dis[1]);
}