《算法竞赛进阶指南》-AcWing-97. 约数之和 Sumdiv-题解

Posted 2021-08-30 Tisfy

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问题描述

求$A^B$的所有约数之和$mod9901(0\le A,B\le 5\ast 10^7)$

问题分析

把$A$质因数分解，表示为$p_1^{k_1}\ast p_2^{c_2}\ast \cdots \ast p_n^{c_n}$（其中$p_i$都是质数）

那么$A^B=(p_1^{c_1}\ast p_2^{c_2}\ast \cdots \ast p_n^{c_n}{)}^B=p_1^{B\ast c_1}\ast p_2^{B\ast c_2}\ast \cdots \ast p_n^{B\ast c_n}$。

则$A^B$的所有约数为集合 { p 1 k 1 ∗ p 2 k 2 ∗ ⋯ ∗ p n k n } \\{p_1^{k_1}*p_2^{k_2}*\\cdots*p_n^{k_n}\\} {p1k1​​∗p2k2​​∗⋯∗pnkn​​}，其中$0\le k_i\le B\ast c_i(1\le i\le n)$

根据乘法分配律，$A^B$的所有约数的和就是$(1+p_1+p_1^2+\cdots +p_1^{B\ast c_1})\ast (1+p_2+p_2^2+\cdots +p_2^{B\ast c_2})\ast \cdots \ast (1+p_n+p_n^2+\cdots +p_n^{B\ast c_n})$

有关质因数分解和约数的内容将在后面详细介绍。

上述式子中每个括号中的内容都是等比数列，如果使用等比数列求和公式，就需要用到除法。但是答案要对$9901$取模，取模运算只对加、减、乘有分配率，不能直接对分子、分母分别取模后再做除法。我们可用换一种思路，使用分治法进行等比数列求和。

问题：使用分治法求$sum(p,c)=1+p+p^2+\cdots +p^c=?$

若$c$为奇数：
​ $sum(p,c)=(1+p+\cdots +p^{\frac{c-1}{2}})+(p^{\frac{c+1}{2}}+\cdots +p^c)$

​ = ( 1 + p + ⋯ + p c − 1 2 ) + p c +

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