找到满足特定条件的子集

Posted 2023-02-16

【中文标题】找到满足特定条件的子集

【英文标题】：Finding a subset which satisfies a certain condition

【发布时间】：2012-01-22 08:32:32

【问题描述】：

我有几个这样的数字数组（数组的每个元素只能取0或1的值）

v1：1； 0; 0; 1个； 1个； v2：0； 1个； 0; 0; 1个； v3：1； 1个； 0; 1个； 0; v4：1； 0; 0; 1个； 0; v5：1； 1个； 0; 1个； 1个； v6：1； 1个； 0; 1个； 1个；

我希望找到这样的子集，以便在对数组求和时，生成的数组具有单独的元素，这些元素是 2 的倍数。例如，v1+v2+v3 给出的结果数组为 2、2、0、2， 2. 结果数组可以是 2 的倍数。

另一个例子：

v1：1、1、1、0、1、0 v2：0、0、1、0、0、0 v3：1、0、0、0、0、0 v4：0、0、0、1、0、0 v5：1、1、0、0、1、0 v6：0、0、1、1、0、0 v7：1、0、1、1、0、0

在本例中，v1+v2+v5 和 v3+v6+v7 是合适的答案。

我有一个蛮力解决方案，但我想检查是否有更有效的方法。这相当于子集和问题吗？

【问题讨论】：

你能详细说明一下：1.) 集合有多长 2.) 你需要结果和数组吗？

每个数组的元素个数和数组的个数在程序开始时是未知的。我实际上并不需要 sum 数组。只是数组的数量。所以如果结果是 v1+v2+v5，我需要 1、2、5。

@Banthar wow.. 高斯消除似乎是正确的做法。我只需要找到 Vx=0 的所有可能解决方案，其中 V 是我所有数组的矩阵。我想 x 会给我相应的行号。

关于 gauss-Jordan：记住 x 在每个维度上都被限制为 0/1；并且您在每个维度中再次寻找“=0 mod 2”，而不是“=0”（这与将其视为适用于 Vx 的任何规范的“=0 mod2”不同，例如。

@Neo，高斯消除对你有用吗？如果是这样，您可以将其发布为答案并接受吗？

【参考方案1】：

您想找到所有解决方案还是一个？

这可以找到一种解决方案（而且我认为可以扩展它以找到所有解决方案）。

将每个数组表示为二进制数。

所以 v1 变成 10011，v2 变成 01001 等等。

让 * 表示按位 mod 2 加法。

例如

v1*v2*v3 = 00000

所以我们的目标是找到 mod 2 加法全为零的数组。 令 u 和 v 为任意二进制数。 那么 u*v = 0 当且仅当 u = v。

例如

(v1*v2)*v3 = 0
v1*v2 = 11010 = v3.

如果 u*v = w 那么

u*v*v = w*v, so
u*0 = w*v,
u = w*v

所以我们可以从 0 开始进行反向搜索。假设最后一组数组包含 v。那么 v*T = 0，其中 T 是某个二进制数。我们有 T = 0*v。如果 T 是给定数组之一，那么我们就完成了。否则我们从 T 开始继续搜索。

这在下面正式描述。

每个状态都是一个二进制数。

设 0 为初始状态。

给定的数组是状态空间的某个子集，比如 S。

我们的目标状态是 S 中的任何元素。

令 T 为总和为 0 的数组的所需子集。

在每个状态下，让可能的动作为 * 任何不在 T 中的状态。

在每个动作之后将使用的数组放入T中。

如果 S = T 在任何非目标阶段，则无解。

现在我们可以在这个空间上运行 DFS 来寻找解决方案。