+-r, +-s 的所有排列

Posted 2023-02-25

【中文标题】+-r, +-s 的所有排列

【英文标题】：all permutations of +-r, +-s

【发布时间】：2017-07-26 08:48:43

【问题描述】：

给定两个数字r 和s，我想获得n +-r 和m +-s 的所有排列列表。例如（使用r=3.14 和s=2.71），

n = 1
m = 1
out = [
    (+r, +s), (+r, -s), (-r, +s), (-r, -s), 
    (+s, +r), (+s, -r), (-s, +r), (-s, -r)
    ]

n = 1
m = 2
out = [
    (+r, +s, +s), (+r, -s, +s), (-r, +s, +s), (-r, -s, +s), ...
    (+s, +r, +s), (-s, +r, +s), (+s, -r, +s), (-s, -r, +s), ...
    ...
    ]

使用itertools.product([+r, -r], repeat=n)，我可以分别获得rs 和ss 的列表，我只需要将它们交织在一起，但我不确定这是否是正确的做法。

效率并不过分重要，所以我不介意产生许多重复结果的解决方案，只是为了使它们在之后变得独一无二。

【参考方案1】：

更新：添加了通用解决方案。

这里有一个解决方案，代码稍微复杂一些，但不会产生重复元素，可以懒惰地求值：

from itertools import combinations, product, chain

r = 3.14
s = 2.71
n = 1
m = 2
idx = combinations(range(n + m), n)
vs = ((r if j in i else s for j in range(n + m)) for i in idx)
res = chain.from_iterable(product(*((+vij, -vij) for vij in vi)) for vi in vs)
print("\n".join(map(str, res)))

输出：

(3.14, 2.71, 2.71)
(3.14, 2.71, -2.71)
(3.14, -2.71, 2.71)
(3.14, -2.71, -2.71)
(-3.14, 2.71, 2.71)
(-3.14, 2.71, -2.71)
(-3.14, -2.71, 2.71)
(-3.14, -2.71, -2.71)
(2.71, 3.14, 2.71)
(2.71, 3.14, -2.71)
(2.71, -3.14, 2.71)
(2.71, -3.14, -2.71)
(-2.71, 3.14, 2.71)
(-2.71, 3.14, -2.71)
(-2.71, -3.14, 2.71)
(-2.71, -3.14, -2.71)
(2.71, 2.71, 3.14)
(2.71, 2.71, -3.14)
(2.71, -2.71, 3.14)
(2.71, -2.71, -3.14)
(-2.71, 2.71, 3.14)
(-2.71, 2.71, -3.14)
(-2.71, -2.71, 3.14)
(-2.71, -2.71, -3.14)

说明

我们可以将输出视为包含 n +/- r 元素和 m +/- s 元素的排列，或者换句话说，n + m 元素的元组其中n 是 +/- r，其余的是 +/- s。 idx 包含具有 +/- r 元素的所有可能位置的元组；例如，第一个结果是(0,)。

然后，对于这些元组i 中的每一个，我们在vs 中创建“模板”元组，它们只是大小为n + m 的元组，其中i 中的索引是r，其余的是s。因此，对于idx 中的元组(0,)，您将得到(r, s, s)。如果n + m 非常大，您可以考虑上一步idx = map(set, idx) 以更快地进行in 操作，但我不确定在哪一点值得这样做。

最后，对于v 中的每个vi 模板，我需要考虑对其每个元素使用正值和负值的所有可能性。所以它是(+vi[0], -vi[0]), (+vi[1], -vi[1]), ... 的笛卡尔积。最后，您只需链接每个产品的每个生成器即可获得最终结果。

一般解决方案

要为任意数量的不同元素构建问题的通用解决方案，您需要考虑索引集的分区。例如，对于n = 3 和m = 5，您可以使用所有可能的方式将0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 分成大小为3 和5 的两部分。下面是一个实现：

from itertools import chain, repeat, permutations, product


def partitions(*sizes):
    if not sizes or all(s <= 0 for s in sizes):
        yield ()
    for i_size, size in enumerate(sizes):
        if size <= 0:
            continue
        next_sizes = sizes[:i_size] + (sizes[i_size] - 1,) + sizes[i_size + 1:]
        for p in partitions(*next_sizes):
            yield (i_size,) + p


def signed_permutations(*elems):
    values, sizes = zip(*elems)
    templates = partitions(*sizes)
    return chain.from_iterable(
        product(*((+values[ti], -values[ti]) for ti in t)) for t in templates)


r = 3.14
s = 2.71
n = 1
m = 2
res = signed_permutations((r, n), (s, m))
print("\n".join(map(str, res)))

这个想法是一样的，你构建“模板”（这次它们包含值的索引而不是值本身），然后是它们的笛卡尔积。

【讨论】：

这似乎不起作用：list(itertools.product(*([[+r, -r]] * 1 + [[+s, -s]] * 1))) 给了[(3.14, 2.71), (3.14, -2.71), (-3.14, 2.71), (-3.14, -2.71)] -- 3.14 永远不会排在第二位。

一两句解释肯定有助于理解代码。

@NicoSchlömer 对，我已经添加了一些解释，如果不清楚，请告诉我。

@NicoSchlömer 又一次更新，为任意数量的不同元素提供了通用解决方案。

可以使用 Knuth 的“算法 L”，而不是您自己的 partitions，例如在 ***.com/questions/4250125/… 实现。

【参考方案2】：

您还可以将r 和s 的permutations 与+1 和-1 和zip 的product 结合起来。这样，整个结构就更易读了，恕我直言：

>>> n, m = 1, 2
>>> r, s = 3.14, 2.71
>>> [[x*i for x,i in zip(perm, prod)] for perm in permutations([r]*n + [s]*m) 
...                                   for prod in product((+1, -1), repeat=n+m)]
[[3.14, 2.71, 2.71],
 [3.14, 2.71, -2.71],
 ...
 [-2.71, -2.71, 3.14],
 [-2.71, -2.71, -3.14]]

【参考方案3】：

首先使用product，然后在每个元素上使用permutations。然后连接所有结果并将它们传递给set() 以删除重复项：

arr = set(itertools.chain.from_iterable([
    itertools.permutations(x)
    for x in itertools.product(*([[+r, -r]] * n + [[+s, -s]] * m))
    ]))
print(arr)