在 C++ 中计算直方图的梯度

Posted 2023-02-25

【中文标题】在 C++ 中计算直方图的梯度

【英文标题】：Calculate the gradient for an histogram in c++

【发布时间】：2009-12-29 10:47:57

【问题描述】：

我计算了 3D 灰度图像的直方图（一个简单的 1d 数组）。 现在我想计算这个直方图在每个点的梯度。所以这实际上意味着我必须在某些点计算一维函数的梯度。但是我没有功能。那么如何用具体的 x 和 y 值来计算呢？

为简单起见，您能否在示例直方图上向我解释这一点 - 例如使用以下值（x 是强度，y 是这种强度的频率）：

x1 = 1; y1 = 3

x2 = 2; y2 = 6

x3 = 3; y3 = 8

x4 = 4; y4 = 5

x5 = 5; y5 = 9

x6 = 6; y6 = 12

x7 = 7; y7 = 5

x8 = 8; y8 = 3

x9 = 9; y9 = 5

x10 = 10; y10 = 2

我知道这也是一道数学题，但由于我需要用 C++ 来解决它，我想你可以在这里帮助我。

感谢您的建议 马克

【问题讨论】：

由于您没有函数，并且这些点可以拟合到通过这些点的任意数量的函数，因此梯度是不可知的。您需要更好地约束隐藏函数的参数才能发现梯度。也许相反，您想知道通过所有这些点的最佳拟合线的梯度（线性回归），或者指定您想知道最接近这些点的二次（例如）函数的梯度？跨度>

嗨，正如我在下面写的，我需要梯度来确定我的直方图斜率是下降还是上升。总的来说，我认为安德烈亚斯从下面的方法应该没问题。但是我不知道斜坡上的异常值是否存在问题。你的建议（线性回归或二次梯度）能解决这个问题吗？此外，我想在各种不同的直方图上使用这些计算。线性回归是否适用于所有地方，因为直方图可能有许多峰值，并且在整个强度范围内并不总是上升或下降。感谢您的帮助，问候

@Marc 只有一件事（与问题无关）。如果你不接受答案，甚至不投票给你认为可能对你有帮助的答案，人们就不会很愿意帮助你

感谢您的提示 - 我还没有认识到评估系统。

没关系:)。关于高斯蒙版（我认为您想在直方图中执行平滑操作）看看homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/HIPR2/gsmooth.htm，里面有一个一维蒙版。或者你可以使用这个卷积掩码 [1/3 1/3 1/3] 来执行简单的平均计算。

【参考方案1】：

我认为您可以使用与图像边界检测相同的方法（即梯度演算）来计算梯度。如果您的直方图在一个向量中，您可以计算梯度的近似值*：

for each point in the histogram compute 
     gradient[x] = (hist[x+1] - hist[x])

这是一种非常简单的方法，但我不确定是否最准确。

近似值，因为您使用的是离散数据而不是连续数据

已编辑：

其他运算符可能会强调小的差异（小梯度会变得更加强调）。 Roberts算法源自导数：

lim delta -> 0 = f(x + delta) - f(x) / delta

delta 无限趋向于 0（为了避免 0 除法）但绝不为零。在计算机的内存中这是不可能的，我们可以得到的最小 delta 是 1（因为 1 是图像（或直方图）中点到点的最小距离）。

替换

lim delta -> 0 to lim delta -> 1

我们得到

f(x + 1) - f(x) / 1 = f(x + 1) - f(x) => vet[x+1] - vet[x]

【讨论】：

嗨，对于 2D 图像中的边界检测，他们经常使用如下掩码：[-1 0 1 ] [-2 0 2 ] [-1 0 1 ]（这应该是 3x3 掩码 - 每个部分在 [] 是一行）。像这样的某种面具也适用于一维吗？例如像这样：-1 0 1 或 -2 0 2（所以对于我的第一个掩码：-1*hist[x-1] + 0*hist[x] + 1*hist[x+1]）可能会增强您的方法（基本上是带有 1 -1 的掩码）还是结果会更糟？问候

其实我这里回答的算法是Roberts边界检测算子（最简单的边缘检测算法）。如果需要 [1 -1] 可以使用卷积掩码来完成，但最终会得到相同的结果，我认为仅计算差异会更快。您可以在这里使用图像算法的任何变体，例如拉普拉斯 [-1 2 -1] - 拉普拉斯运算符可以写为 [0 -1 0][-1 4 -1][0 -1 0] 但在这里我将其调整为一维。

@Andres：一个[1 -1]卷积掩码就是的区别！不仅结果，而且计算是相同的......虽然如果你“从左到右”考虑它，[-1 1] 是相应的符号。 [-1 2 -1] 可以认为是两边差值的总和。

您好，感谢您到目前为止的回复。我还有另一个问题 - 我希望不要太傻 - 但由于我仍然有点不知所措，我只是尝试：实际上是否还有一个用于计算梯度的标准值的 1D 高斯掩码？或者是否有特定的掩码是梯度计算的首选？

【参考方案2】：

这里通常有两种方法：

导数的离散近似 取拟合函数的实数导数

在第一种情况尝试：

g = (y_(i+1) - y_(i-1))/2*dx

在除末端之外的所有点，或其中之一

g_left-end  = (y_(i+1) - y_i)/dx
g_right-end = (y_i - y_(i-1))/dx

dx 是 x 点之间的间距。 （与同样正确的定义 Andres suggested 不同，这个定义是对称的。是否重要取决于您的用例。）

在第二种情况中，将spline 拟合到您的数据[*]，然后向样条库询问您想要的点的导数。

[*] 使用库！除非这是一个学习项目，否则不要自己实施。我会使用ROOT，因为我已经在我的机器上安装了它，但它是一个非常重的包，只是为了获得一个样条......

---

最后，如果您的数据有噪声，您可能希望在进行斜率检测之前对其进行平滑处理。那是您避免追逐噪音，而只看大型斜坡。

【讨论】：

你能解释一下对称是什么意思吗？ +1

@Andres：当然。想象一下直方图中的一个对称峰，带有长的平尾。因为您的函数（当然，如果您正在考虑微分极限，则很自然）涉及i 和i+1，但不涉及i-1，所以双峰梯度分布的中心不会位于顶峰。就像我说的，这可能会或可能不会重要。我的有两种特殊情况，而你的只有一种。决定，决定......

太好了。在图像处理中存在类似的问题（不是双峰函数）。检测到的边缘与原始图像的边界不完全吻合（边缘可以看作是一种 sigmoid 函数）。理论上，过零应该解决这个问题（双导数），但由于图像的离散性，这不是很精确。干杯

@dmckee：您可能还可以帮助我解决以下问题：首先，我可以对异常值做些什么？例如，如果我有如下斜率： y(i) = 20; y(i+1) = 18; y(i+2) = 15; y(i+3) = 12; y(i+4) = 17; y(i+5) = 11; y(i+6) = 10; y(i+7) = 8;.. 例如，如果我在 i+1 处计算 y_(i) 就可以了。但是如果我在 i+5 处计算，尽管整体斜率在下降，但梯度将为正。这对我来说很重要，因为我想找出总斜率的终点——梯度再次开始升高的地方。其次...看下一条评论

...如果斜率（梯度）是下降还是上升（而且我不知道间距）对我来说很重要 - 我可以简单地将 dx 设置为 1 吗？！跨度>

【参考方案3】：

拿一些方格纸，在上面画出你的直方图。还可以通过直方图的 0,0 点绘制垂直轴和水平轴。

取一条直尺，并在您感兴趣的每个点旋转直尺，直到它与您对该点的渐变的概念一致。这样做是最重要的，你对渐变的定义就是你想要的。

一旦直边处于您想要的角度，就在该角度画一条线。

从刚刚绘制的直线上的任意 2 个点垂下垂线。如果您选择的 2 个点之间的水平距离约为直方图宽度的 25% 或更多，则执行以下步骤会更容易。从相同的 2 个点绘制水平线与直方图的垂直轴相交。

您的线现在定义了 x 距离和 y 距离，即水平/垂直（分别）轴的长度，由它们与垂线/水平线的交点标出。您想要的渐变是 y 距离除以 x 距离。

现在，除了第 2 步之外，将其转换为代码非常简单。您必须定义用于确定直方图上任意点的梯度的标准。简单的选择包括：

a) 在每一点，放下你的直尺以穿过该点并在其右侧穿过下一个；

b) 在每一点，放下你的直尺以穿过该点和其左边的下一个；

c) 在每一点，放下你的直尺，穿过左边的点和右边的点。

您可能想要研究更复杂的选择，例如通过直方图上的多个点拟合曲线（例如二次或高阶多项式），并使用该曲线的导数来表示梯度。

在您理解纸上的问题之前，请避免使用 C++ 或其他任何方式进行编码。一旦你理解了它，编码应该是微不足道的。

【讨论】：

基本上你已经告诉他要弥补他喜欢的任何渐变，无论是美学上还是其他方面。你似乎没有一些通用的方法来计算这些角度，尽管我赞赏你的方法把中心问题带回家（你想要什么梯度？）。

是的，没错。定义渐变应该是什么是他的工作，这不是一个小问题。如果他想要一个美观的渐变，他有权拥有一个，尽管我怀疑这不是他在这种情况下真正需要的。我还认为，测量直线的斜率正是计算梯度的一种通用方法。但这是 OP 的选择。

您好，感谢您的回复。实际上我需要梯度来确定我的直方图斜率是上升还是下降。现在我想从直方图的某个峰值开始，然后找出斜率下降的峰值左侧和右侧的强度范围。从什么时候开始，一个新的上升坡向另一个高峰开始。一般来说，下面建议的近似值（由 Andreas 提出）是可以的，但我认为下降斜率上可能存在异常值。如果我能避免这样的误解就好了。问候