用于巨大“N”的 MATLAB Dftmtx

Posted 2023-02-25

【中文标题】用于巨大“N”的 MATLAB Dftmtx

【英文标题】：MATLAB Dftmtx for Huge "N"

【发布时间】：2018-09-14 10:07:51

【问题描述】：

我有一个大小为 M 的向量（例如 500），我将其上采样 MM=500，因此我的新向量现在大小为 N=500 x 500=250000。我正在使用优化算法，并且需要使用 DFT 矩阵而不是内置函数来执行大小为 N 的上采样向量的 fft/dft。

但是，由于内存限制，这变得令人望而却步。有什么办法吗？我在这里看到了一个类似的问题Huge Fourier matrix - MATLAB，但这是关于一个巨大的矩阵，解决方案是将矩阵分成列并逐列执行操作。在我的例子中，向量有 250000 行。

将行分成几部分是否明智，例如每行 500 次并重复同一事物 500 次，最后将结果连接起来？

【参考方案1】：

如果使用 FFT 是一个选项，旋转因子矩阵不会显式出现，因此实际内存需求在 O(N) 的数量级上。

如果您必须使用显式 DFT 矩阵，则可以使用较大 DFT 矩阵的子矩阵分解计算。给定一个长度为 N 的输入 x，并假设我们希望将大 DFT 矩阵划分为 BlockSize x BlockSize 子矩阵，这可以使用以下 matlab 代码完成：

y = zeros(size(x));
Imax = ceil(N / BlockSize); % divide the rows into Imax chunks
Jmax = ceil(N / BlockSize); % divide the columns into Jmax chunks

% iterate over the blocks
for i=0:Imax-1
  imin = i*BlockSize;
  imax = min(i*BlockSize+BlockSize-1,N-1);
  for j=0:Jmax-1
    jmin = j*BlockSize;
    jmax = min(j*BlockSize+BlockSize-1,N-1);
    [XX,YY] = meshgrid(jmin:jmax, imin:imax);

    % compute the DFT submatrix
    W = exp(-2* pi * 1i * XX .* YY / N);

    % apply the DFT submatrix on a chunk of the input and add to the output
    y([imin:imax] + 1) = y([imin:imax] + 1) + W * x([jmin:jmax] + 1);
  end
end

如果需要，将上述代码调整为沿行使用与沿列不同的块大小会相当容易。

【讨论】：

这可能是一种可能性，我已经在我的问题中暗示了这一点。这似乎是给定情况下的唯一解决方案。