图灵机中的时间复杂度与空间复杂度

Posted 2023-02-25

【中文标题】图灵机中的时间复杂度与空间复杂度

【英文标题】：Time complexity versus space complexity in Turing machines

【发布时间】：2011-10-31 12:27:42

【问题描述】：

我认为图灵机的时间复杂度和空间复杂度的定义是相同的，我无法区分 他们之间。

请帮助我。谢谢。

【问题讨论】：

简单的 wiki 搜索会回答您的问题。

我搜索了但我不明白！

【参考方案1】：

时间复杂度是衡量算法产生答案所需的多长时间。

空间复杂度是衡量算法在处理过程中使用多少内存的指标。

例如，考虑计算整数 1..n 之和的问题。一个简单的算法可以像这样工作：

procedure sum(n)
  total := 0
  for i = 1 to n
    total := total + a[n]
  return total

该算法的时间复杂度为 O(n)，因为循环显然要经过 n 次迭代。另一方面，空间复杂度为 O(1)，因为我们需要的唯一内存是 total 和 i，它们独立于 n.

【讨论】：

我的意思是关于图灵机，而不是对空间和时间复杂度的一般定义。请在这种情况下给我解释一下！

如果你的问题是关于图灵机的，你为什么不在你的问题中提到它？

定义并没有真正改变。对于图灵机来说，时间只是停机前状态变化次数的量度，空间复杂度只是使用的磁带单元数。

哦，这就是我想要的东西。请多解释。

@amir amir：你还想知道什么？我相信我已经尽可能地解释了它。如果您不了解图灵机是什么，或者一般来说复杂性是什么，请在此网站上搜索这些问题的答案，并询问您是否找不到任何东西。

【参考方案2】：

对于图灵机，时间复杂度是衡量当机器在某些输入上启动时磁带移动的次数。空间复杂度是指机器运行时写入磁带的多少个单元。

TM 的时间复杂度与其空间复杂度有关。特别是，如果输入 w 的 TM 的 tue 空间复杂度为 f(w)，那么它的时间复杂度必须至少为 f(w)，因为磁带必须移动至少 f(w) 步才能写出那么多细胞。此外，如果 TM 具有带字母 Γ 和状态集 Q，那么如果 TM 在输入 w 上的空间复杂度为 f(w) 并且 TM 在 w 上停止，则时间复杂度必须至多为 |Q|Γ ^f(n)。要看到这一点，请注意 TM 在其执行过程中的任何时候的配置都由一串 f(n) 个磁带单元组成，每个磁带单元可以包含任何磁带符号，并且可以在它的任何 |Q| 之一中。州。

如果您查看受限制的图灵机，例如linear bounded automaton (LBA)，就会出现这种区别的一个有趣示例，这是一种图灵机，其磁带的空间限制与输入大小成正比。虽然 TM 的空间复杂度被限制在 O(n)，但任何特定 LBA 的时间复杂度都可以是输入大小的指数。

希望这会有所帮助！

【讨论】：

谢谢，您的意思是空间复杂度计算图灵机磁带中不为空的单元数吗？你的意思是时间复杂度计算头部运动的次数吗？

空间复杂度是磁头曾经读取过的单元格总数，包括读取或写入的包含空白的单元格。请注意，机器实际上需要扫描单元格。是的，时间复杂度是磁头移动的总次数。

谢谢，例如，如果头部向右走 4 个单元格，然后向左走 3 个单元格，我们是否将空间复杂度增加 7 步，或者我们是否将空间复杂度增加 1 步？

空间复杂度将增加四倍，因为您扫描了四个新单元格。您回溯的三个没有贡献任何新内容，因为该空间已被使用。

@cuppajoeman 通常在 TM Land 中，n 指的是输入字符的长度。